奈奎斯特采樣定理，或者更準(zhǔn)確地說是奈奎斯特-香農(nóng)定理，是控制混合信號電子系統(tǒng)設(shè)計的基本理論原理。

正如我們所知道的，如果沒有模數(shù)轉(zhuǎn)換和數(shù)模轉(zhuǎn)換，現(xiàn)代技術(shù)就不會存在。實際上，這些操作已經(jīng)變得非常普遍了，以至于說“一個模擬信號可以轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號，然后再轉(zhuǎn)換成模擬信號，而不會造成任何重大的信息損失”。

這聽起來像是一種真理，但我們怎么知道情況確實如此呢？當(dāng)它看起來似乎丟失了我們在單個樣本之間觀察到的如此之多的信號行為時，為什么還說采樣是一種無損操作呢？

如圖1所示，我們?nèi)绾文軓囊粋€這樣的信號開始：

圖1

再將其數(shù)字化成圖2這樣：

圖2

然后還敢聲稱“原始信號可以恢復(fù)，且不會丟失信息”？

奈奎斯特-香農(nóng)定理

之所以可以提出這樣的說法，是因為它符合現(xiàn)代電氣工程最重要的原理之一：

如果一個系統(tǒng)以超過信號最高頻率至少兩倍的速率對模擬信號進行均勻采樣，那么原始模擬信號就能從采樣產(chǎn)生的離散值中完全恢復(fù)。

關(guān)于這個定理還有很多話要說，但首先，讓我們試著弄清楚到底該怎么稱呼它。

香農(nóng)？奈奎斯特？科捷利尼科夫？惠特克？

我當(dāng)然不是那個決定誰在闡述、論證，或者解釋“香農(nóng)-奈奎斯特-科特爾尼科夫-惠特克”采樣和插值理論方面最值得贊揚的人。其實，這四個人都有參與其中，并且取得了顯著成效。

但其中，哈里 · 奈奎斯特這個人的角色，似乎已經(jīng)超出了它最初的意義。例如，在譚和江撰寫的《數(shù)字信號處理：基本原理與應(yīng)用》一書中，上述原理被確定為“香農(nóng)采樣定理” ；在塞德拉和史密斯的《微電子電路》一書中，我發(fā)現(xiàn)了下面這句話：“事實上，我們可以在有限數(shù)量的樣本上進行處理……而忽略樣本之間的模擬信號細節(jié)……這是基于香農(nóng)采樣定理。”

因此，我們或許應(yīng)該避免使用“奈奎斯特采樣定理”或者“奈奎斯特采樣理論”這些詞匯。如果我們需要把名字和這個概念聯(lián)系起來，那么我建議只含有“香農(nóng)”或者“奈奎斯特和香農(nóng)”。事實上，也許是時候過渡到更匿名的東西了，比如“基本采樣定理”。

如果你覺得這有點令人迷惑，請記住上面提到的采樣定理與奈奎斯特速率是不同的，本文稍后將對此進行解釋。我認為，沒人能把奈奎斯特和他的速率分開，所以最終達成了一個很好的妥協(xié)：香農(nóng)得到了定理，奈奎斯特得到了速率。

時域采樣定理

如果我們將采樣定理應(yīng)用于頻率f信號的正弦波，就必須要對f樣本≥2f信號的波形進行采樣才能實現(xiàn)完美重構(gòu)。換句話說，每個正弦周期至少需要兩個樣本。接下來，讓我們先從時域的角度來理解一下這句話。

在下面這張圖中，正弦波的采樣頻率遠遠高于信號頻率：

圖3：每個圓點代表一個采樣瞬間，即測量模擬電壓后，并將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字的精確時刻

為了更加直觀地了解這個采樣過程，我們可以繪制采樣值，然后用直線將它們連接起來。如下圖所示的直線近似值看起來與原始信號完全相同：相較于信號頻率，采樣頻率非常高，因此線段與相應(yīng)的曲線正弦波線段沒有明顯的差異。

圖4

但隨著我們降低采樣頻率，直線近似值的外觀與原始圖像有所不同了。

圖5：每個周期20個樣本（f樣本=20f信號）

圖6：每個周期10個樣本（f樣本=10f信號）

圖7：每個周期5個樣本（f樣本=5f信號）

臨界值：每個周期2個樣本

隨著我們把每個周期的采樣數(shù)量減少到5個以下，采樣產(chǎn)生的數(shù)據(jù)點仍將繼續(xù)保持模擬信號的循環(huán)性質(zhì)，但最終會達到一個頻率信息被破壞的點。首先，考慮下面的情節(jié)：

圖8：每個周期2個樣本（f樣本=2f信號）

當(dāng)f樣本=2f信號時，正弦曲線完全消失了。但是，由采樣數(shù)據(jù)點產(chǎn)生的三角波并沒有改變正弦曲線的基本周期性，三角波的頻率與原始信號的頻率相同。

然而，一旦我們將采樣頻率降低到每個周期少于2個樣本時，這種說法就不再成立了。因此，在混合信號系統(tǒng)中，對于原始信號中的最高頻率，每個周期2次采樣是至關(guān)重要的臨界值，其對應(yīng)的采樣頻率就稱為奈奎斯特速率：

如果我們以低于奈奎斯特速率的頻率對模擬信號進行采樣，那么將無法完美地重構(gòu)原始信號。

下面兩張圖顯示了當(dāng)采樣頻率低于奈奎斯特速率時所發(fā)生的周期性等效損失：

圖9：每個周期2個樣本（f樣本=2f信號）

圖10：每個周期1.9個樣本（f樣本=1.9f信號）

當(dāng)f樣本=1.9f信號時，離散時間波形基本上獲得了全新的周期性行為。采樣模式的完全重復(fù)，需要一個以上的正弦波周期。

然而，當(dāng)我們每個周期只有1.9個樣本時，采樣頻率不足的影響就有點難以解釋了。接下來的情節(jié)，更清楚地說明了這一切：

圖11：每個周期1.1個樣本（f 樣本 =1.1f 信號 ）

如果你對正弦波一無所知，并且使用1.1f信號采樣產(chǎn)生的離散時間波形進行分析，那么你將會對原始信號的頻率產(chǎn)生嚴重的錯誤想法。此外，如果你只有離散數(shù)據(jù)，那么就不可能知道頻率特性已經(jīng)被破壞了。采樣產(chǎn)生了一個原始信號中不存在的新頻率，但你不知道這個頻率不存在。

所以，最終結(jié)論是：當(dāng)我們以低于奈奎斯特速率的頻率采樣時，信息就會永久地丟失，原始信號無法完美地重構(gòu)。

結(jié)語

本文討論了香農(nóng)采樣定理和奈奎斯特速率，并且試圖通過觀察采樣在時域中的影響來深入了解這些概念。