數(shù)的機(jī)器碼表示,數(shù)的機(jī)器碼表示原理圖解

　　
　　在計(jì)算機(jī)中對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算操作時(shí)，符號(hào)位如何表示呢？是否也同數(shù)值位一道參加運(yùn)算操作呢？為了妥善的處理好這些問(wèn)題，就產(chǎn)生了把符號(hào)位和數(shù)字位一起編碼來(lái)表示相應(yīng)的數(shù)的各種表示方法，如原碼、補(bǔ)碼、反碼、移碼等。為了區(qū)別一般書寫表示的數(shù)和機(jī)器中這些編碼表示的數(shù)，通常將前者稱為真值，后者稱為機(jī)器數(shù)或機(jī)器碼。
　　
　　1.原碼表示法
　　
　　若定點(diǎn)小數(shù)的原碼形式為ｘ₀ｘ₁ｘ₂…ｘ_n，則原碼表示的定義是
　　
　　? (2.7)
　　
　　式中[ｘ]_原是機(jī)器數(shù)，ｘ是真值
　　
　　例如，ｘ＝+0.1001，則[ｘ]_原＝0.1001
　　
　　ｘ＝-0.1001，則[ｘ]_原＝1.1001
　　
　　對(duì)于0，原碼機(jī)器中往往有“+0”、“-0”之分，故有兩種形式：
　　
　　[+0]_原=0.000...0
　　
　　[-0]_原=1.000...0
　　
　　若定點(diǎn)整數(shù)的原碼形式為ｘ₀ｘ₁ｘ₂…ｘ_n，則原碼表示的定義是
　　
　　? (2.8)
　　
　　采用原碼表示法簡(jiǎn)單易懂，但它的最大缺點(diǎn)是加法運(yùn)算復(fù)雜。這是因?yàn)?，?dāng)兩數(shù)相加時(shí)，如果是同號(hào)則數(shù)值相加；如果是異號(hào)，則要進(jìn)行減法。而在進(jìn)行減法時(shí)還要比較絕對(duì)值的大小，然后大數(shù)減去小數(shù)，最后還要給結(jié)果選擇符號(hào)。為了解決這些矛盾，人們找到了補(bǔ)碼表示法。

2.補(bǔ)碼表示法
　　
　　我們先以鐘表對(duì)時(shí)為例說(shuō)明補(bǔ)碼的概念。假設(shè)現(xiàn)在的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間為4點(diǎn)正； 而有一只表已經(jīng)7點(diǎn)了，為了校準(zhǔn)時(shí)間，可以采用兩種方法：一是將時(shí)針退 7-4=3 格；一是將時(shí)針向前撥12-3=9格。這兩種方法都能對(duì)準(zhǔn)到4點(diǎn)，由此可以看出，減3和加9是等價(jià)的，就是說(shuō)9是(-3)對(duì)12的補(bǔ)碼，可以用數(shù)學(xué)公式表示
　　
　　-3＝+9（mod12）
　　
　　mod12的意思就是12模數(shù)，這個(gè)“?！北硎颈粊G掉的數(shù)值。上式在數(shù)學(xué)上稱為同余式。
　　
　　上例中其所以7-3和7+9(mod12)等價(jià)，原因就是表指針超過(guò)12時(shí)，將12自動(dòng)丟掉，最后得到16-12=4。從這里可以得到一個(gè)啟示，就是負(fù)數(shù)用補(bǔ)碼表示時(shí)，可以把減法轉(zhuǎn)化為加法。這樣，在計(jì)算機(jī)中實(shí)現(xiàn)起來(lái)就比較方便。
　　
　　若定點(diǎn)小數(shù)補(bǔ)碼形式為ｘ₀.ｘ₁ｘ₂…ｘ_n，則補(bǔ)碼表示的定義是
　　
　　? (2.9)
　　
　　例如，ｘ＝+0.1011，則[ｘ]_補(bǔ)＝0.1011
　　
　　ｘ＝-0.1011，則[ｘ]_補(bǔ)＝10+ｘ＝10.0000-0.1011＝1.0101
　　
　　對(duì)于0，[＋0]_補(bǔ)＝[－0]_補(bǔ)＝0.0000??????????????? 　(mod 2)
　　
　　注意，0的補(bǔ)碼表示只有一種形式。
　　
　　采用補(bǔ)碼表示法進(jìn)行減法運(yùn)算就比原碼方便得多了。因?yàn)椴徽摂?shù)是正還是負(fù)，機(jī)器總是做加法，減法運(yùn)算可變?yōu)榧臃ㄟ\(yùn)算。但根據(jù)補(bǔ)碼定義，求負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼要從2減去|ｘ|。為了用加法代替減法，結(jié)果還得在求補(bǔ)碼時(shí)作一次減法，這顯然是不方便的。下面介紹的反碼表示法可以解決負(fù)數(shù)的求補(bǔ)問(wèn)題。
　　
　　對(duì)定點(diǎn)整數(shù)，補(bǔ)碼表示的定義是
　　
　　? (2.10)

?3.反碼表示法
　　
　　所謂反碼，就是二進(jìn)制的各位數(shù)碼0變?yōu)?，1變?yōu)?。也就是說(shuō)，若ｘ_i=1，則反碼為ｘ_i=0；若ｘ_i=0，則反碼ｘ_i=1。數(shù)值上面的一橫表示反碼的意思。在計(jì)算機(jī)中用觸發(fā)器寄存數(shù)碼，若觸發(fā)器Q端輸出表示原碼，則其Q端輸出就是反碼。由此可知，反碼是容易得到的。
　　
　　對(duì)定點(diǎn)小數(shù)，反碼表示的定義為
　　
??? ? (2.11)
　　
　　其中n代表數(shù)的位數(shù)。
　　
　　在一些文獻(xiàn)中，這種以2為基數(shù)的反碼又稱為1的補(bǔ)碼。
　　
　　一般情況下，對(duì)于正數(shù) ｘ＝＋0.ｘ₁ｘ₂…ｘ_n， 則
　　
　　[ｘ]_反＝0.ｘ₁ｘ₂…ｘ_n
　　
　　對(duì)于負(fù)數(shù)ｘ＝－0.ｘ₁ｘ₂…ｘ_n ，則有
　　
　　[ｘ]_反＝1.ｘ₁ｘ₂…ｘ_n
　　
　　對(duì)于0，有[＋0]_反和[－0]_反之分:
　　
　　[＋0]_反＝0.00...0
　　
　　[－0]_反＝1.11...1
　　
　　我們比較反碼與補(bǔ)碼的公式
　　
　　[ｘ]_反＝(2－2^－n)＋ｘ
　　
　　[ｘ]_補(bǔ)＝2＋ｘ
　　
　　可得到
　　
　　? (2.12)
　　
　　這就是通過(guò)反碼求補(bǔ)碼的重要公式。這個(gè)公式告訴我們，若要一個(gè)負(fù)數(shù)變補(bǔ)碼，其方法是符號(hào)位置1，其余各位0變1，1變0，然后在最末位(2^-n)上加1。
　　
　　對(duì)定點(diǎn)整數(shù)，反碼表示的定義為
　　
　　? (2.13)

?4.移碼表示法
　　
　　移碼通常用于表示浮點(diǎn)數(shù)的階碼。由于階碼是個(gè)n位的整數(shù)，假定定點(diǎn)整數(shù)移碼形式為ｘ₀ｘ₁ｘ₂…ｘ_n時(shí)，對(duì)定點(diǎn)整數(shù)，移碼的傳統(tǒng)定義是真值加上一個(gè)固定常數(shù)2ⁿ
　　
??? ? (2.14)
　　
　　若階碼數(shù)值部分為7位，以ｘ表示真值，則
　　
　　[ｘ]_移＝27＋ｘ= 128 +ｘ?? 　　　128 ＞ｘ≥－128
　　
　　例如，當(dāng)正數(shù)ｘ＝＋1010101 時(shí)，[ｘ]_移＝1,1010101 ；
　　
　　當(dāng)負(fù)數(shù)ｘ＝－10101 01時(shí)，[ｘ]_移＝2⁷＋ｘ＝2⁷－1010101＝10000000 - 1010101 = 0,0101011。
　　
　　移碼中的逗號(hào)不是小數(shù)點(diǎn)，而是表示左邊一位是符號(hào)位。顯然，移碼中符號(hào)位ｘ₀表示的規(guī)律與原碼、補(bǔ)碼、反碼相反。
　　
　　小結(jié)：上面的數(shù)據(jù)四種機(jī)器表示法中，移碼表示法主要用于表示浮點(diǎn)數(shù)的階碼。由于補(bǔ)碼表示對(duì)加減法運(yùn)算十分方便，因此目前機(jī)器中廣泛采用補(bǔ)碼表示法。在這類機(jī)器中，數(shù)用補(bǔ)碼表示，補(bǔ)碼存儲(chǔ)，補(bǔ)碼運(yùn)算。也有些機(jī)器，數(shù)用原碼進(jìn)行存儲(chǔ)和傳送，運(yùn)算時(shí)改用補(bǔ)碼。還有些機(jī)器在做加減法時(shí)用補(bǔ)碼運(yùn)算，在做乘除法時(shí)用原碼運(yùn)算。
　　
　　[例3]以定點(diǎn)整數(shù)為例，用數(shù)軸形式說(shuō)明原碼、反碼、補(bǔ)碼表示范圍和可能的數(shù)碼組合情況。
　　
　　[解:]
　　
　　原碼、反碼、補(bǔ)碼表示分別示于下圖。與原碼、反碼不同，在補(bǔ)碼表示中“0”只有一種形式，且用補(bǔ)碼表示負(fù)數(shù)時(shí)范圍可到－2ⁿ 。
　　　　

　　[例4]將十進(jìn)制真值(－127，－1，0，＋1，＋127)列表表示成二進(jìn)制數(shù)及原碼、反碼、補(bǔ)碼、移碼值。
　　
　　[解:]
　　
　　二進(jìn)制真值ｘ及其諸碼值列于下表，其中0在[ｘ]_原[ｘ]_反中有兩種表示。由表中數(shù)據(jù)可知，補(bǔ)碼值與移碼值差別僅在于符號(hào)位不同。
　　

[例5]設(shè)機(jī)器字長(zhǎng)16位，定點(diǎn)表示，尾數(shù)15位，數(shù)符1位，問(wèn)：
　　
　　(1)定點(diǎn)原碼整數(shù)表示時(shí)，最大正數(shù)是多少?最小負(fù)數(shù)是多少?
　　
　　(2)定點(diǎn)原碼小數(shù)表示時(shí)，最大正數(shù)是多少?最小負(fù)數(shù)是多少?
　　
　　[解:]

　　[例6]假設(shè)由S，E，M三個(gè)域組成的一個(gè)32位二進(jìn)制字所表示的非零規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)ｘ，真值表示為：
　　
　　ｘ＝(－1)^s×(1.M)×2^E－128
　　
　　問(wèn)：它所表示的規(guī)格化的最大正數(shù)、最小正數(shù)、最大負(fù)數(shù)、最小負(fù)數(shù)是多少？
　　
　　[解:]