有太多的公開課、教程在反復(fù)傳頌卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的好，卻都沒有講什么是“卷積”，似乎默認(rèn)所有讀者都有相關(guān)基礎(chǔ)。這篇外文既友好又深入，所以翻譯了過來。文章高級(jí)部分通過流體力學(xué)量子力學(xué)等解釋卷積的做法在我看來有點(diǎn)激進(jìn)，這些領(lǐng)域恐怕比卷積更深?yuàn)W，所以只需簡(jiǎn)略看看即可。以下是正文： 卷積現(xiàn)在可能是深度學(xué)習(xí)中最重要的概念。正是靠著卷積和卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，深度學(xué)習(xí)才超越了幾乎其他所有的機(jī)器學(xué)習(xí)手段。但卷積為什么如此強(qiáng)大？它的原理是什么？在這篇博客中我將講解卷積及相關(guān)概念，幫助你徹底地理解它。 網(wǎng)絡(luò)上已經(jīng)有不少博客講解卷積和深度學(xué)習(xí)中的卷積，但我發(fā)現(xiàn)它們都一上來就加入了太多不必要的數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)，艱深晦澀，不利于理解主旨。這篇博客雖然也有很多數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)，但我會(huì)以可視化的方式一步步展示它們，確保每個(gè)人都可以理解。文章第一部分旨在幫助讀者理解卷積的概念和深度學(xué)習(xí)中的卷積網(wǎng)絡(luò)。第二部分引入了一些高級(jí)的概念，旨在幫助深度學(xué)習(xí)方向的研究者和高級(jí)玩家進(jìn)一步加深對(duì)卷積的理解。

什么是卷積

整篇博客都會(huì)探討這個(gè)問題，但先把握行文脈絡(luò)會(huì)很有幫助。那么粗略來講，什么是卷積呢？ 你可以把卷積想象成一種混合信息的手段。想象一下裝滿信息的兩個(gè)桶，我們把它們倒入一個(gè)桶中并且通過某種規(guī)則攪拌攪拌。也就是說卷積是一種混合兩種信息的流程。 卷積也可以形式化地描述，事實(shí)上，它就是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，跟減加乘除沒有本質(zhì)的區(qū)別。雖然這種運(yùn)算本身很復(fù)雜，但它非常有助于簡(jiǎn)化更復(fù)雜的表達(dá)式。在物理和工程上，卷積被廣泛地用于化簡(jiǎn)等式——等會(huì)兒簡(jiǎn)單地形式化描述卷積之后——我們將把這些領(lǐng)域的思想和深度學(xué)習(xí)聯(lián)系起來，以加深對(duì)卷積的理解。但現(xiàn)在我們先從實(shí)用的角度理解卷積。

我們?nèi)绾螌?duì)圖像應(yīng)用卷積

當(dāng)我們?cè)趫D像上應(yīng)用卷積時(shí)，我們?cè)趦蓚€(gè)維度上執(zhí)行卷積——水平和豎直方向。我們混合兩桶信息：第一桶是輸入的圖像，由三個(gè)矩陣構(gòu)成——RGB三通道，其中每個(gè)元素都是0到255之間的一個(gè)整數(shù)。第二個(gè)桶是卷積核（kernel），單個(gè)浮點(diǎn)數(shù)矩陣。可以將卷積核的大小和模式想象成一個(gè)攪拌圖像的方法。卷積核的輸出是一幅修改后的圖像，在深度學(xué)習(xí)中經(jīng)常被稱作feature map。對(duì)每個(gè)顏色通道都有一個(gè)feature map。

邊緣檢測(cè)卷積核的效果這是怎么做到的呢，我們現(xiàn)在演示一下如何通過卷積來混合這兩種信息。一種方法是從輸入圖片中取出一個(gè)與卷積核大小相同的區(qū)塊——這里假設(shè)圖片為100×100100×100，卷積核大小為3×33×3，那么我們?nèi)〕龅膮^(qū)塊大小就是3×33×3——然后對(duì)每對(duì)相同位置的元素執(zhí)行乘法后求和（不同于矩陣乘法，卻類似向量?jī)?nèi)積，這里是兩個(gè)相同大小的矩陣的“點(diǎn)乘”）。乘積的和就生成了feature map中的一個(gè)像素。當(dāng)一個(gè)像素計(jì)算完畢后，移動(dòng)一個(gè)像素取下一個(gè)區(qū)塊執(zhí)行相同的運(yùn)算。當(dāng)無法再移動(dòng)取得新區(qū)塊的時(shí)候?qū)eature map的計(jì)算就結(jié)束了。這個(gè)流程可以用如下的動(dòng)畫演示：

RAM是輸入圖片，Buffer是feature map 你可能注意到這里有個(gè)正規(guī)化因子m，這里m的值為kernel的大小9；這是為了保證輸入圖像和feature map的亮度相同。

為什么機(jī)器學(xué)習(xí)中圖像卷積有用

圖像中可能含有很多我們不關(guān)心的噪音。一個(gè)好例子是我和Jannek Thomas在Burda Bootcamp做的項(xiàng)目。Burda Bootcamp是一個(gè)讓學(xué)生像黑客馬拉松一樣在非常短的時(shí)間內(nèi)創(chuàng)造技術(shù)風(fēng)暴的實(shí)驗(yàn)室。與9名同事一起，我們?cè)?個(gè)月內(nèi)做了11個(gè)產(chǎn)品出來。其中之一是針對(duì)時(shí)尚圖像用深度編碼器做的搜索引擎：你上傳一幅時(shí)尚服飾的圖片，編碼器自動(dòng)找出款式類似的服飾。 如果你想要區(qū)分衣服的式樣，那么衣服的顏色就不那么重要了；另外像商標(biāo)之類的細(xì)節(jié)也不那么重要。最重要的可能是衣服的外形。一般來講，女裝襯衫的形狀與襯衣、夾克和褲子的外觀非常不同。如果我們過濾掉這些多余的噪音，那我們的算法就不會(huì)因顏色、商標(biāo)之類的細(xì)節(jié)分心了。我們可以通過卷積輕松地實(shí)現(xiàn)這項(xiàng)處理。 我的同事Jannek Thomas通過索貝爾邊緣檢測(cè)濾波器（與上上一幅圖類似）去掉了圖像中除了邊緣之外的所有信息——這也是為什么卷積應(yīng)用經(jīng)常被稱作濾波而卷積核經(jīng)常被稱作濾波器（更準(zhǔn)確的定義在下面）的原因。由邊緣檢測(cè)濾波器生成的feature map對(duì)區(qū)分衣服類型非常有用，因?yàn)橹挥型庑涡畔⒈槐Ａ粝聛怼?/p>

彩圖的左上角是搜索query，其他是搜索結(jié)果，你會(huì)發(fā)現(xiàn)自動(dòng)編碼器真的只關(guān)注衣服的外形，而不是顏色。 再進(jìn)一步：有許多不同的核可以產(chǎn)生多種feature map，比如銳化圖像（強(qiáng)調(diào)細(xì)節(jié)），或者模糊圖像（減少細(xì)節(jié)），并且每個(gè)feature map都可能幫助算法做出決策（一些細(xì)節(jié)，比如衣服上有3個(gè)紐扣而不是兩個(gè)，可能可以區(qū)分一些服飾）。 使用這種手段——讀入輸入、變換輸入、然后把feature map喂給某個(gè)算法——被稱為特征工程。特征工程非常難，很少有資料幫你上手。造成的結(jié)果是，很少有人能熟練地在多個(gè)領(lǐng)域應(yīng)用特征工程。特征工程是——純手工——也是Kaggle比賽中最重要的技能。特征工程這么難的原因是，對(duì)每種數(shù)據(jù)每種問題，有用的特征都是不同的：圖像類任務(wù)的特征可能對(duì)時(shí)序類任務(wù)不起作用；即使兩個(gè)任務(wù)都是圖像類的，也很難找出相同的有效特征，因?yàn)橐暣R(shí)別的物體的不同，有用的特征也不同。這非常依賴經(jīng)驗(yàn)。 所以特征工程對(duì)新手來講特別困難。不過對(duì)圖像而言，是否可以利用卷積核自動(dòng)找出某個(gè)任務(wù)中最適合的特征？

進(jìn)入卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就是干這個(gè)的。不同于剛才使用固定數(shù)字的卷積核，我們賦予參數(shù)給這些核，參數(shù)將在數(shù)據(jù)上得到訓(xùn)練。隨著卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練，這些卷積核為了得到有用信息，在圖像或feature map上的過濾工作會(huì)變得越來越好。這個(gè)過程是自動(dòng)的，稱作特征學(xué)習(xí)。特征學(xué)習(xí)自動(dòng)適配新的任務(wù)：我們只需在新數(shù)據(jù)上訓(xùn)練一下自動(dòng)找出新的過濾器就行了。這是卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)如此強(qiáng)大的原因——不需要繁重的特征工程了！ 通常卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)并不學(xué)習(xí)單一的核，而是同時(shí)學(xué)習(xí)多層級(jí)的多個(gè)核。比如一個(gè)32x16x16的核用到256×256的圖像上去會(huì)產(chǎn)生32個(gè)241×241（）的feature map。所以自動(dòng)地得到了32個(gè)有用的新特征。這些特征可以作為下個(gè)核的輸入。一旦學(xué)習(xí)到了多級(jí)特征，我們簡(jiǎn)單地將它們傳給一個(gè)全連接的簡(jiǎn)單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，由它完成分類。這就是在概念上理解卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所需的全部知識(shí)了（池化也是個(gè)重要的主題，但還是在另一篇博客中講吧）。

第二部分：高級(jí)概念

我們現(xiàn)在對(duì)卷積有了一個(gè)良好的初步認(rèn)識(shí)，也知道了卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在干什么、為什么它如此強(qiáng)大?，F(xiàn)在讓我們深入了解一下卷積運(yùn)算中到底發(fā)生了什么。我們將認(rèn)識(shí)到剛才對(duì)卷積的講解是粗淺的，并且這里有更優(yōu)雅的解釋。通過深入理解，我們可以理解卷積的本質(zhì)并將其應(yīng)用到許多不同的數(shù)據(jù)上去。萬事開頭難，第一步是理解卷積原理。

卷積定理

要理解卷積，不得不提convolution theorem，它將時(shí)域和空域上的復(fù)雜卷積對(duì)應(yīng)到了頻域中的元素間簡(jiǎn)單的乘積。這個(gè)定理非常強(qiáng)大，在許多科學(xué)領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用。卷積定理也是快速傅里葉變換算法被稱為20世紀(jì)最重要的算法之一的一個(gè)原因。

第一個(gè)等式是一維連續(xù)域上兩個(gè)連續(xù)函數(shù)的卷積；第二個(gè)等式是二維離散域（圖像）上的卷積。這里指的是卷積，指的是傅里葉變換，表示傅里葉逆變換，是一個(gè)正規(guī)化常量。這里的“離散”指的是數(shù)據(jù)由有限個(gè)變量構(gòu)成（像素）；一維指的是數(shù)據(jù)是一維的（時(shí)間），圖像則是二維的，視頻則是三維的。 為了更好地理解卷積定理，我們還需要理解數(shù)字圖像處理中的傅里葉變換。

快速傅里葉變換

快速傅里葉變換是一種將時(shí)域和空域中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到頻域上去的算法。傅里葉變換用一些正弦和余弦波的和來表示原函數(shù)。必須注意的是，傅里葉變換一般涉及到復(fù)數(shù)，也就是說一個(gè)實(shí)數(shù)被變換為一個(gè)具有實(shí)部和虛部的復(fù)數(shù)。通常虛部只在一部分領(lǐng)域有用，比如將頻域變換回到時(shí)域和空域上；而在這篇博客里會(huì)被忽略掉。你可以在下面看到一個(gè)信號(hào)（一個(gè)以時(shí)間為參數(shù)的有周期的函數(shù)通常稱為信號(hào)）是如何被傅里葉變換的：

紅色是時(shí)域，藍(lán)色為頻域你也許會(huì)說從沒見過這些東西，但我敢肯定你在生活中是見過的：如果紅色是一首音樂的話，那么藍(lán)色值就是你在你的MP3播放器屏幕上看到的頻譜：

傅里葉域上的圖像

我們?nèi)绾蜗胂髨D片的頻率呢？想象一張只有兩種模式的紙片，現(xiàn)在把紙片豎起來順著線條的方向看過去，就會(huì)看到一個(gè)一個(gè)的亮點(diǎn)。這些以一定間隔分割黑白部分的波就代表著頻率。在頻域中，低頻率更接近中央而高頻率更接近邊緣。頻域中高強(qiáng)度（亮度、白色）的位置代表著原始圖像亮度改變的方向。這一點(diǎn)在接下來這張圖與其對(duì)數(shù)傅里葉變換（對(duì)傅里葉變換的實(shí)部取對(duì)數(shù)，這樣可以減小像素亮度的差別，便于觀察更廣的亮度區(qū)域）中特別明顯：

我們馬上就可以發(fā)現(xiàn)傅里葉變換包含了關(guān)于物體朝向的信息。如果物體被旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，從圖像像素上可能很難判斷，但從頻域上可以很明顯地看出來。 這是個(gè)很重要的啟發(fā)，基于傅里葉定理，我們知道卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在頻域上檢測(cè)圖像并且捕捉到了物體的方向信息。于是卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就比傳統(tǒng)算法更擅長(zhǎng)處理旋轉(zhuǎn)后的圖像（雖然還是比不上人類）。

頻率過濾與卷積

為什么卷積經(jīng)常被描述為過濾，為什么卷積核經(jīng)常被稱為過濾器呢？通過下一個(gè)例子可以解釋：

如果我們對(duì)圖像執(zhí)行傅里葉變換，并且乘以一個(gè)圓形（背景填充黑色，也就是0），我們可以過濾掉所有的高頻值（它們會(huì)成為0，因?yàn)樘畛涫?）。注意過濾后的圖像依然有條紋模式，但圖像質(zhì)量下降了很多——這就是jpeg壓縮算法的工作原理（雖然有些不同但用了類似的變換），我們變換圖形，然后只保留部分頻率，最后將其逆變換為二維圖片；壓縮率就是黑色背景與圓圈的比率。 我們現(xiàn)在將圓圈想象為一個(gè)卷積核，然后就有了完整的卷積過程——就像在卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中看到的那樣。要穩(wěn)定快速地執(zhí)行傅里葉變換還需要許多技巧，但這就是基本理念了。 現(xiàn)在我們已經(jīng)理解了卷積定理和傅里葉變換，我們可以將這些理念應(yīng)用到其他科學(xué)領(lǐng)域，以加強(qiáng)我們對(duì)深度學(xué)習(xí)中的卷積的理解。

流體力學(xué)的啟發(fā)

流體力學(xué)為空氣和水創(chuàng)建了大量的微分方程模型，傅里葉變換不但簡(jiǎn)化了卷積，也簡(jiǎn)化了微分，或者說任何利用了微分方程的領(lǐng)域。有時(shí)候得到解析解的唯一方法就是對(duì)微分方程左右同時(shí)執(zhí)行傅里葉變換。在這個(gè)過程中，我們常常將解寫成兩個(gè)函數(shù)卷積的形式，以得到更簡(jiǎn)單的表達(dá)。這是在一個(gè)維度上的應(yīng)用，還有在兩個(gè)維度上的應(yīng)用，比如天文學(xué)。

擴(kuò)散

你可以混合兩種液體（牛奶和咖啡），只要施加一個(gè)外力（湯勺攪拌）——這被稱為對(duì)流，而且是個(gè)很快的過程。你也可以耐心等待兩種液體自然混合——這被稱為擴(kuò)散，通常是很慢的過程。 想象一下，一個(gè)魚缸被一塊板子隔開，兩邊各有不同濃度的鹽水。抽掉板子后，兩邊的鹽水會(huì)逐步混合為同一個(gè)濃度。濃度差越大，這個(gè)過程越劇烈。 現(xiàn)在想象一下，一個(gè)魚缸被 256×256 個(gè)板子分割為 256×256 個(gè)部分（這個(gè)數(shù)字似乎不對(duì)），每個(gè)部分都有不同濃度的鹽水。如果你去掉所有的擋板，濃度類似的小塊間將不會(huì)有多少擴(kuò)散，但濃度差異大的區(qū)塊間有巨大的擴(kuò)散。這些小塊就是像素點(diǎn)，而濃度就是像素的亮度。濃度的擴(kuò)散就是像素亮度的擴(kuò)散。 這說明，擴(kuò)散現(xiàn)象與卷積有相似點(diǎn)——初始狀態(tài)下不同濃度的液體，或不同強(qiáng)度的像素。為了完成下一步的解釋，我們還需要理解傳播子。

理解傳播子

傳播子就是密度函數(shù)，表示流體微粒應(yīng)該往哪個(gè)方向傳播。問題是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中沒有這樣的概率函數(shù)，只有一個(gè)卷積核——我們要如何統(tǒng)一這兩種概念呢？ 我們可以通過正規(guī)化來講卷積核轉(zhuǎn)化為概率密度函數(shù)。這有點(diǎn)像計(jì)算輸出值的softmax。下面就是對(duì)第一個(gè)例子中的卷積核執(zhí)行的softmax結(jié)果：

現(xiàn)在我們就可以從擴(kuò)散的角度來理解圖像上的卷積了。我們可以把卷積理解為兩個(gè)擴(kuò)散流程。首先，當(dāng)像素亮度改變時(shí)（黑色到白色等）會(huì)發(fā)生擴(kuò)散；然后某個(gè)區(qū)域的擴(kuò)散滿足卷積核對(duì)應(yīng)的概率分布。這意味著卷積核正在處理的區(qū)域中的像素點(diǎn)必須按照這些概率來擴(kuò)散。 在上面那個(gè)邊緣檢測(cè)器中，幾乎所有臨近邊緣的信息都會(huì)聚集到邊緣上（這在流體擴(kuò)散中是不可能的，但這里的解釋在數(shù)學(xué)上是成立的）。比如說所有低于0.0001的像素都非?？赡芰鲃?dòng)到中間并累加起來。與周圍像素區(qū)別最大的區(qū)域會(huì)成為強(qiáng)度的集中地，因?yàn)閿U(kuò)散最劇烈。反過來說，強(qiáng)度最集中的地方說明與周圍對(duì)比最強(qiáng)烈，這也就是物體的邊緣所在，這解釋了為什么這個(gè)核是一個(gè)邊緣檢測(cè)器。 所以我們就得到了物理解釋：卷積是信息的擴(kuò)散。我們可以直接把這種解釋運(yùn)用到其他核上去，有時(shí)候我們需要先執(zhí)行一個(gè)softmax正規(guī)化才能解釋，但一般來講核中的數(shù)字已經(jīng)足夠說明它想要干什么。比如說，你是否能推斷下面這個(gè)核的的意圖？

等等，有點(diǎn)迷惑

對(duì)一個(gè)概率化的卷積核，怎么會(huì)有確定的功能？我們必須根據(jù)核對(duì)應(yīng)的概率分布也就是傳播子來計(jì)算單個(gè)粒子的擴(kuò)散不是嗎？ 是的，確實(shí)如此。但是，如果你取一小部分液體，比如一滴水，你仍然有幾百萬水分子。雖然單個(gè)分子的隨機(jī)移動(dòng)滿足傳播子，但大量的分子宏觀上的表現(xiàn)是基本確定的。這是統(tǒng)計(jì)學(xué)上的解釋，也是流體力學(xué)的解釋。我們可以把傳播子的概率分布解釋為信息或說像素亮度的平均分布；也就是說我們的解釋從流體力學(xué)的角度來講是沒問題的。話說回來，這里還有一個(gè)卷積的隨機(jī)解釋。

量子力學(xué)的啟發(fā)

傳播子是量子力學(xué)中的重要概念。在量子力學(xué)中，一個(gè)微?？赡芴幱谝环N疊加態(tài)，此時(shí)它有兩個(gè)或兩個(gè)以上屬性使其無法確定位于觀測(cè)世界中的具體位置。比如，一個(gè)微?？赡芡瑫r(shí)存在于兩個(gè)不同的位置。 但是如果你測(cè)量微粒的狀態(tài)——比如說現(xiàn)在微粒在哪里——它就只能存在于一個(gè)具體位置了。換句話說，你通過觀測(cè)破壞了微粒的疊加態(tài)。傳播子就描述了微粒出現(xiàn)位置的概率分布。比如說在測(cè)量后一個(gè)微?？赡堋鶕?jù)傳播子的概率函數(shù)——30%在A，70%在B。 通過量子糾纏，幾個(gè)粒子就可以同時(shí)儲(chǔ)存上百或上百萬個(gè)狀態(tài)——這就是量子計(jì)算機(jī)的威力。 如果我們將這種解釋用于深度學(xué)習(xí)，我們可以把圖片想象為位于疊加態(tài)，于是在每個(gè)3*3的區(qū)塊中，每個(gè)像素同時(shí)出現(xiàn)在9個(gè)位置。一旦我們應(yīng)用了卷積，我們就執(zhí)行了一次觀測(cè)，然后每個(gè)像素就坍縮到滿足概率分布的單個(gè)位置上了，并且得到的單個(gè)像素是所有像素的平均值。為了使這種解釋成立，必須保證卷積是隨機(jī)過程。這意味著，同一個(gè)圖片同一個(gè)卷積核會(huì)產(chǎn)生不同的結(jié)果。這種解釋沒有顯式地把誰比作誰，但可能啟發(fā)你如何把卷積用成隨機(jī)過程，或如何發(fā)明量子計(jì)算機(jī)上的卷積網(wǎng)絡(luò)算法。量子算法能夠在線性時(shí)間內(nèi)計(jì)算出卷積核描述的所有可能的狀態(tài)組合。

概率論的啟發(fā)

卷積與互相關(guān)緊密相連。互相關(guān)是一種衡量小段信息（幾秒鐘的音樂片段）與大段信息（整首音樂）之間相似度的一種手段（youtube使用了類似的技術(shù)檢測(cè)侵權(quán)視頻）。

雖然互相關(guān)的公式看起來很難，但通過如下手段我們可以馬上看到它與深度學(xué)習(xí)的聯(lián)系。在圖片搜索中，我們簡(jiǎn)單地將query圖片上下顛倒作為核然后通過卷積進(jìn)行互相關(guān)檢驗(yàn)，結(jié)果會(huì)得到一張有一個(gè)或多個(gè)亮點(diǎn)的圖片，亮點(diǎn)所在的位置就是人臉?biāo)诘奈恢谩?/p>

這個(gè)例子也展示了通過補(bǔ)零來使傅里葉變換穩(wěn)定的一種技巧，許多版本的傅里葉變換都使用了這種技巧。另外還有使用了其他padding技巧：比如平鋪核，分治等等。我不會(huì)展開講，關(guān)于傅里葉變換的文獻(xiàn)太多了，里面的技巧特別多——特別是對(duì)圖像來講。 在更底層，卷積網(wǎng)絡(luò)第一層不會(huì)執(zhí)行互相關(guān)校驗(yàn)，因?yàn)榈谝粚訄?zhí)行的是邊緣檢測(cè)。后面的層得到的都是更抽象的特征，就有可能執(zhí)行互相關(guān)了?？梢韵胂筮@些亮點(diǎn)像素會(huì)傳遞給檢測(cè)人臉的單元（Google Brain項(xiàng)目的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中有一些單元專門識(shí)別人臉、貓等等；也許用的是互相關(guān)？）

統(tǒng)計(jì)學(xué)的啟發(fā)

統(tǒng)計(jì)模型和機(jī)器學(xué)習(xí)模型的區(qū)別是什么？統(tǒng)計(jì)模型只關(guān)心很少的、可以解釋的變量。它們的目的經(jīng)常是回答問題：藥品A比藥品B好嗎？ 機(jī)器學(xué)習(xí)模型是專注于預(yù)測(cè)效果的：對(duì)于年齡X的人群，藥品A比B的治愈率高17%，對(duì)年齡Y則是23%。 機(jī)器學(xué)習(xí)模型通常比統(tǒng)計(jì)模型更擅長(zhǎng)預(yù)測(cè)，但它們不是那么可信。統(tǒng)計(jì)模型更擅長(zhǎng)得到準(zhǔn)確可信的結(jié)果：就算藥品A比B好17%，我們也不知道這是不是偶然，我們需要統(tǒng)計(jì)模型來判斷。 對(duì)時(shí)序數(shù)據(jù)，有兩種重要的模型：weighted moving average 和autoregressive模型，后者可歸入ARIMA model (autoregressive integrated moving average model)。比起LSTM，ARIMA很弱。但在低維度數(shù)據(jù)（1-5維）上，ARIMA非常健壯。雖然它們有點(diǎn)難以解釋，但ARIMA絕不是像深度學(xué)習(xí)算法那樣的黑盒子。如果你需要一個(gè)可信的模型，這是個(gè)巨大的優(yōu)勢(shì)。 我們可以將這些統(tǒng)計(jì)模型寫成卷積的形式，然后深度學(xué)習(xí)中的卷積就可以解釋為產(chǎn)生局部ARIMA特征的函數(shù)了。這兩種形式并不完全重合，使用需謹(jǐn)慎。

C是一個(gè)以核為參數(shù)的函數(shù)，white noise是正規(guī)化的均值為0方差為1的互不相關(guān)的數(shù)據(jù)。 當(dāng)我們預(yù)處理數(shù)據(jù)的時(shí)候，經(jīng)常將數(shù)據(jù)處理為類似white noise的形式：將數(shù)據(jù)移動(dòng)到均值為0，將方差調(diào)整為1。我們很少去除數(shù)據(jù)的相關(guān)性，因?yàn)橛?jì)算復(fù)雜度高。但是在概念上是很簡(jiǎn)單的，我們旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸以重合數(shù)據(jù)的特征向量：

現(xiàn)在如果我們將C作為bias，我們就會(huì)覺得這與卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)很像。所以卷積層的輸出可被解釋為白噪音數(shù)據(jù)經(jīng)過autoregressive model的輸出。 weighted moving average的解釋更簡(jiǎn)單：就是輸入數(shù)據(jù)與某個(gè)固定的核的卷積?？纯次哪┑母咚蛊交司蜁?huì)明白這個(gè)解釋。高斯平滑核可以被看做每個(gè)像素與其鄰居的平均，或者說每個(gè)像素被其鄰居平均（邊緣模糊）。 雖然單個(gè)核無法同時(shí)創(chuàng)建autoregressive 和 weighted moving average 特征，但我們可以使用多個(gè)核來產(chǎn)生不同的特征。

總結(jié)

這篇博客中我們知道了卷積是什么、為什么在深度學(xué)習(xí)中這么有用。圖片區(qū)塊的解釋很容易理解和計(jì)算，但有其理論局限性。我們通過學(xué)習(xí)傅里葉變換知道傅里葉變換后的時(shí)域上有很多關(guān)于物體朝向的信息。通過強(qiáng)大的卷積定理我們理解了卷積是一種在像素間的信息流動(dòng)。之后我們拓展了量子力學(xué)中傳播子的概念，得到了一個(gè)確定過程中的隨機(jī)解釋。我們展示了互相關(guān)與卷積的相似性，并且卷積網(wǎng)絡(luò)的性能可能是基于feature map間的互相關(guān)程度的，互相關(guān)程度是通過卷積校驗(yàn)的。最后我們將卷積與兩種統(tǒng)計(jì)模型關(guān)聯(lián)了起來。 個(gè)人來講，我覺得寫這篇博客很有趣。曾經(jīng)很長(zhǎng)一段時(shí)間我都覺得本科的數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)課是浪費(fèi)時(shí)間，因?yàn)樗鼈兲粚?shí)用了（哪怕是應(yīng)用數(shù)學(xué)）。但之后——就像突然中大獎(jiǎng)一樣——這些知識(shí)都相互串起來了并且?guī)Я诵碌睦斫?。我覺得這是個(gè)絕妙的例子，啟示我們應(yīng)該耐心地學(xué)習(xí)所有的大學(xué)課程——哪怕它們一開始看起來沒有用。

責(zé)任編輯：xj

原文標(biāo)題：卷積為什么如此強(qiáng)大？理解深度學(xué)習(xí)中的卷積

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