1、有限元分析的5大要素

對于有限元分析來說，支撐這個體系的4大要素就是：材料本構(gòu)、網(wǎng)格、邊界和載荷（載荷問題可以理解為數(shù)學物理方程的初值問題），然后，如果把求解技術(shù)也看作一個要素，則也可以稱之為5大要素。

2、基本要素-網(wǎng)格

網(wǎng)格是一門復雜的邊緣學科，是幾何拓撲學和力學的雜交問題，也是支撐數(shù)值計算的前提保證。本文不做任何網(wǎng)格理論的探討（網(wǎng)格理論是純粹的數(shù)學理論），僅限于盡量簡單化的應用技術(shù)揭秘。

網(wǎng)格出現(xiàn)的思想源于離散化求解思想，離散化把連續(xù)求解域離散為若干有限的子區(qū)域，分別求解各個子區(qū)域的物理變量，各個子區(qū)域相鄰連續(xù)與協(xié)調(diào)，從而達到整個變量場的協(xié)調(diào)與連續(xù)。離散網(wǎng)格僅僅是物理量的一個“表征符號”，網(wǎng)格是有形的，但被離散對象既可以是有形的（各類固體），也可以是無形的（熱傳導、氣體），最關(guān)鍵的核心在于網(wǎng)格背后隱藏的數(shù)學物理列式，因此，簡單點說，看得見的網(wǎng)格離散是形式，而看不見的物理量離散才是本質(zhì)核心。

對計算結(jié)構(gòu)力學問題，網(wǎng)格剖分主要包含幾個內(nèi)容：

桿系單元剖分（梁、桿、索、彈簧等）；

二維板殼剖分（曲面或者平面單元）；

三維實體剖分（非結(jié)構(gòu)化全六面體網(wǎng)格、四面體網(wǎng)格、金字塔網(wǎng)格、結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格、混合網(wǎng)格等）；

計算熱力學和計算流體動力學的網(wǎng)格絕大部分是三維問題。對于CAE工程師而言，任何復雜問題域最終均直接表現(xiàn)為網(wǎng)格的堆砌，工程師的任務等同于上帝造人的過程，網(wǎng)格是一個機體，承載著靈魂（材料本構(gòu)、網(wǎng)格、邊界和荷載），求解技術(shù)則是一個思維過程。

網(wǎng)格基本要素：

節(jié)點（node）

單元線（edge）

單元面（face）

單元體（body）

實質(zhì)上，線、面、體只不過是為了讓網(wǎng)格看起來更加直觀，在分析求解過程中，線、面、體本質(zhì)上并沒有起多大的作用，數(shù)值離散的落腳點在節(jié)點（node）上，所有的物理變量均轉(zhuǎn)化為節(jié)點變量實現(xiàn)連續(xù)和傳遞。在所有的CAE環(huán)境下，網(wǎng)格的基本要素均可以直接構(gòu)成，但對于復雜問題而言，這是一個在操作上很難實現(xiàn)的事情，因此，基于幾何要素的網(wǎng)格劃分技術(shù)成為現(xiàn)代網(wǎng)格剖分應用的支點，和網(wǎng)格基本要素完全相同，對應的幾何要素分別稱之為點（point）、線（curve）、面（surface）和實體（solid）。

數(shù)值離散求解器是不能識別幾何元素的，要對其添加“飼料”，工程師必須對幾何元素進行“精加工”，因此，從這個意義上來說，網(wǎng)格剖分的本質(zhì)就是把幾何要素轉(zhuǎn)換為若干離散的元素組，這些元素組堆砌成形態(tài)上近似逼近原有幾何域的簡單網(wǎng)格集合體。因此，這里說明了一個網(wǎng)格“加工”質(zhì)量的基本判別標準——和幾何元素的擬合逼近程度，理論上，越逼近幾何元素的網(wǎng)格質(zhì)量越好，當然，幾何逼近只是一個基本的判別標準，網(wǎng)格質(zhì)量判別有一系列復雜的標準，本文不做討論。

3、網(wǎng)格類型

本文專門解釋幾個基本概念：點網(wǎng)格；一維線網(wǎng)格；二維三角形面網(wǎng)格、二維四邊形面網(wǎng)格；三維四面體網(wǎng)格（tetrahedra）、三維金字塔單元（pyramid）、五面體單元（prism）、三維六面體單元（hexahedra）；結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格（structural grid）、非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格（nonstructural grid）、混合網(wǎng)格（blend grid）。

需要專門說明的是，網(wǎng)格（grid & net）不等同于單元（element），單元是基于有限元思想的一個專用名詞，而網(wǎng)格則是網(wǎng)格理論體系下的專用稱呼，當網(wǎng)格用于有限元分析的時候，便可以轉(zhuǎn)而稱為線單元、面單元、實體單元，因此兩者的本質(zhì)差別在于，單元具有物理意義，一般具有特定的物理列式，而網(wǎng)格只是純粹幾何意義上的基本元素。

3.1、點網(wǎng)格

主要針對CSD中的質(zhì)量單元和CTD中的點狀熱源，通過對幾何point直接mesh生成，應用較為簡單，屬性也較為簡單，一般僅僅包含質(zhì)量特性或者溫度特性。值得一提的是，在考慮行波效應的振動分析中，質(zhì)量單元常被妙用，作為基底無限大質(zhì)量塊，巧妙地將加速度激勵轉(zhuǎn)變?yōu)榱睿瑥亩_到可以多點施加激勵的作用。

3.2、一維線網(wǎng)格

主要針對計算結(jié)構(gòu)力學問題，主要針對基本的桁架（truss）、梁（frame or beam）、索（cable）、連桿(link)和彈簧（spring）等工程單元。需要特別說明的是，link實際上沒有具體的工程構(gòu)件對號入座（不等同于機械工程的連桿），只是一種單元節(jié)點物理量協(xié)調(diào)的邊界單元，常用一維線網(wǎng)格描述。對于梁系單元，理論上通過桿件軸長方向的node描述其物理量變化，node越多，描述相對越精確，對于常用的梁、桿通常達到6～9個節(jié)點就具備足夠的工程精度（可以捕捉到關(guān)鍵截面位置的力學響應）。一維單元可以根據(jù)內(nèi)力變化隨意加密局部網(wǎng)格點。

從工程意義上來說，通過加密網(wǎng)格節(jié)點，完全可以替代高次一維單元。需要注意的是，桿系構(gòu)件的一維網(wǎng)格并不是一味的追求增加剖分節(jié)點，對于桁架（truss）或者拉索（cable），當劃分成多節(jié)點一維網(wǎng)格時，如果構(gòu)件缺少初始剛度（一般是初始張拉剛度），則中間節(jié)點會由于缺少轉(zhuǎn)動自由度約束，而形成類似鉸鏈的機構(gòu)運動，導致計算失敗。而彈簧或者link則只需要兩個網(wǎng)格節(jié)點便可以完全描述其物理特性，這是最簡單的一維網(wǎng)格單元。

3.3、二維網(wǎng)格

主要針對CSD中的板殼單元、平面應力單元、平面應變單元；CTD和CFD中的二維問題也是其應用領(lǐng)域。二維網(wǎng)格包含兩類：其一是三角形網(wǎng)格；其二是四邊形網(wǎng)格，當然，兩種網(wǎng)格也可以混合使用。

三角形網(wǎng)格：一般用于線性二維單元（線性單元只有一個積分點，當然也有3積分點、4積分點的高次三角形單元），因此，精度一般相對較差，同時，單元數(shù)量和節(jié)點數(shù)量均較高，造成計算負荷加大，但其幾何逼近的適應性很好，因此對由復雜二維曲面構(gòu)成的三維問題，有一定的適應性。

四邊形網(wǎng)格：是矩形、梯形、斜梯形等四邊形網(wǎng)格的總稱，四邊形網(wǎng)格單元容易增加單元積分點分布（4積分點、8積分點、9積分點、16積分點等），因此，對應單元的精度往往較高。但在其應用之初，限于網(wǎng)格生成技術(shù)的原因，對幾何域的擬合逼近不如三角形好，網(wǎng)格生成算法也較為復雜，影響了其使用，現(xiàn)在的網(wǎng)格技術(shù)已經(jīng)完美解決這一問題，因此，理論上，任意復雜的曲面幾何域均可以采用完全四邊形網(wǎng)格構(gòu)成。但對于很多復雜工程問題，往往存在一些幾何尺度變化較劇烈的區(qū)域（俗稱極短邊界、破碎面、破碎線），這些區(qū)域如果純粹用四邊形網(wǎng)格填充，會大幅度增加網(wǎng)格數(shù)量，且形狀逼近也不好，因此可以采用混合三角形——四邊形網(wǎng)格的剖分策略，這是一種兼顧網(wǎng)格形狀、計算效率和精度的網(wǎng)格組合方式，主要以四邊形單元為主，局部填充數(shù)量極少的三角形網(wǎng)格。

3.4、三維實體網(wǎng)格

三維實體網(wǎng)格是最復雜的網(wǎng)格技術(shù)，主要針對計算域中的塊狀體或者空間三維狀封閉區(qū)域，填充網(wǎng)格形狀包括四面體、六面體、棱柱體、四棱錐體（俗稱金字塔網(wǎng)格），目前的三維網(wǎng)格剖分技術(shù)已經(jīng)相對完善，四面體網(wǎng)格可以高效填充任意復雜的空間三維域，很多網(wǎng)格生成軟件并且已經(jīng)可以做到自動剖分、自適應加密。

最具挑戰(zhàn)性的三維六面體網(wǎng)格剖分技術(shù)仍然處于完善發(fā)展狀態(tài)，雖然理論上分塊（block）結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格可以實現(xiàn)任意形狀三維空間的結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格填充，但復雜的分塊技術(shù)對工程師的幾何拓撲規(guī)劃能力是一個嚴重的挑戰(zhàn)，往往進行區(qū)域分塊會花掉工程師整個分析工作過程近80%的時間，同時，由于結(jié)構(gòu)化要求，導致有時候網(wǎng)格質(zhì)量難以控制，網(wǎng)格數(shù)量有時候可能比四面體單元的數(shù)量更加巨大，但結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格排序簡單明了，因此數(shù)值離散插值非常方便，往往用線形插值的求解精度就可以達到非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格非線性插值的精度，且結(jié)構(gòu)網(wǎng)格占用內(nèi)存較低（單個結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格占用內(nèi)存為四面體網(wǎng)格的4倍，但但其節(jié)點總數(shù)大約為四面體網(wǎng)格的1/6，因此總占用內(nèi)存較低），因此，結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格仍然是網(wǎng)格高端技術(shù)的象征，目前，專業(yè)網(wǎng)格處理器ICEM-CFD主要以這種技術(shù)為主，在CFD和CTD計算領(lǐng)域，結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格仍然是網(wǎng)格剖分的首選。

針對結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格生成技術(shù)的難點，非結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格逐漸形成CSD領(lǐng)域的主流，非結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格的主要生成技術(shù)是sweep技術(shù)，sweep網(wǎng)格要求剖分區(qū)域具有sweep路徑和路徑兩端的邊界面，網(wǎng)格生成的一般順序是先完成路徑斷面的網(wǎng)格剖分（程序自動完成，很容易），接下來程序往往會自動搜尋出端面的網(wǎng)格影射關(guān)系，從而沿著sweep路徑形成三維體網(wǎng)格。針對復雜幾何區(qū)域，非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格也需要預先進行幾何域分塊，但其分塊難度相對很低，一般僅需要工程師尋找出具備近似sweep拓補特征的幾何域，直接進行幾何域剖分即可。

最簡單的具備近似sweep拓補特征的幾何域包括圓柱體、立方體以及經(jīng)過異化（梯形化、扭曲化、楔化等）的對應元素，這些分區(qū)塊共同構(gòu)成網(wǎng)格剖分的初始幾何子域集。

值得一提的是，幾何域初始剖分過程中各個子域需要保證幾何上的連通，對于非常復雜的幾何域，這樣的連通有些時候是高階復連通過程，其剖分也比較復雜。

棱柱體不是網(wǎng)格主流形狀，一般作為非結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格的補充搭配使用——當sweep端面不適合采用全四邊形網(wǎng)格填充時，可以局部采用三角形網(wǎng)格——三角形網(wǎng)格沿厚度方向掃略便形成了棱柱體單元（5面體）；棱柱體網(wǎng)格另外一個重要的用途便是流場計算的壁面邊界層網(wǎng)格，因為流場壁面法向附近變量變化非常劇烈，因此往往要求沿法向網(wǎng)格具有結(jié)構(gòu)化特征，利于數(shù)值離散插值，提高計算精度，而如果該區(qū)域是非結(jié)構(gòu)四面體單元，要形成結(jié)構(gòu)化排序是非常困難的，因此，一個折中的方案便是對壁面附近四面體網(wǎng)格進行層狀化劈分處理（涉及劈層以后的局部網(wǎng)格重構(gòu)，技術(shù)難度很大），經(jīng)劈分處理得到表層網(wǎng)格便是棱柱體網(wǎng)格。

金字體網(wǎng)格在CSD領(lǐng)域應用較少，主要用于CTD和CFD計算——比如某一個幾何子域采用四面體網(wǎng)格，另外的子域采用六面體結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，則在兩個子域上可以采用金字塔單元進行過渡處理，一般“塔底”（四邊形）連接六面體網(wǎng)格，“塔尖”連接四面體網(wǎng)格。

3.5、結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格和非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格

這兩者只是針對網(wǎng)格排序方式而言，簡單點說，當幾何域內(nèi)部的每一個子域上，其網(wǎng)格針對子域的面或者邊線，具有一一對應的網(wǎng)格排序（比如四邊形的對邊網(wǎng)格具有映射關(guān)系，且這樣的影射關(guān)系在網(wǎng)格路徑上也嚴格滿足），一個最簡單的例子，便是一個方柱體sweep六面體網(wǎng)格和結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的對比，當路徑端面網(wǎng)格上為自由劃分四面邊形網(wǎng)格（端面的對邊方向網(wǎng)格并不具備映射關(guān)系）最終形成的sweep網(wǎng)格便是非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格——沿網(wǎng)格路徑方向具有映射關(guān)系（最終全部是六面體），結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格則要求其端面網(wǎng)格也同時滿足映射關(guān)系（即使這個映射關(guān)系經(jīng)過異化，比如梯形化、扭曲化）。

因此，總結(jié)來說，結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格在空間子域內(nèi)部滿足三維映射，而非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格最多只滿足一維映射（sweep網(wǎng)格），同時，四面體、棱柱體、金字塔網(wǎng)格也均屬于非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。

網(wǎng)格節(jié)點和積分點是普通CAE工程師很容易混淆的概念，網(wǎng)格節(jié)點構(gòu)成了網(wǎng)格分布和形狀，通常，這些節(jié)點是數(shù)值離散插值、網(wǎng)格“溝通交流”的“基地”，而積分點一般位于網(wǎng)格內(nèi)部或者節(jié)點之間，是“基地”傳輸過來的變量信息進行“再加工”（積分計算）的“封裝測試車間”，最后的結(jié)果是積分點計算結(jié)果通過插值“回退”到節(jié)點上的結(jié)果，要增加積分點，要求單元至少是2節(jié)點一維桿系單元，同時，2節(jié)點單元可以具備2個積分點、3個積分點、4個積分點甚至更多，二維3節(jié)點單元（3角形單元）、4節(jié)點單元、4節(jié)點實體單元、5節(jié)點實體單元（金字塔單元）、6節(jié)點實體單元（棱柱體單元）、8節(jié)點實體單元（六面體單元）也具有類似的屬性。

通常說的高次單元和線性單元的區(qū)別主要體現(xiàn)在積分點的區(qū)別上，高次單元理論上具有更高的精度，但對塑性問題不合適。工程上常常通過增加網(wǎng)格數(shù)量和節(jié)點數(shù)量來提高線性單元的計算結(jié)果精度。

編輯：fqj