過采樣與位分辨率

數(shù)字信號處理中提升有效位分辨率的方法

位(比特)分辨率與采樣率是模數(shù)轉(zhuǎn)換器(ADC)最重要的兩個參數(shù)。高位分辨率的ADC可以有效地減少由采樣造成的量化噪聲，從而提高整個數(shù)字信號處理(DSP)的質(zhì)量。大多數(shù)ADC擁有較為固定的位分辨率與采樣率。然而，某些依賴DSP的儀器，比如數(shù)字儲存示波器，可能需要用來接收不同頻段的輸入信號。因此，使用固定的采樣率與位分辨率進行采樣在這類應(yīng)用很可能不是最優(yōu)的解決方案。在這份應(yīng)用指南中，我們將向您介紹如何通過 過采樣 的方式提高有效位分辨率。之后通過實驗向您展示Moku:Lab與Moku:Go是如果通過其強大的機載運算能力，在不同的使用場景下自動使用過采樣來提升測量結(jié)果。

簡介

在過去的幾十年中，半導體的制造工藝得到指數(shù)級的提升。單位面積下芯片半導體的數(shù)量也同樣得到了多個數(shù)量級的提升。許多信號處理的設(shè)備，比如音頻錄制與播放設(shè)備，都由模擬信號處理過渡到了信號數(shù)字處理。數(shù)字信號處理(DSP)通常有著更簡單的結(jié)構(gòu)：模數(shù)轉(zhuǎn)換器(ADC)首先將模擬信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號。之后，DSP芯片對信號進行實時處理，再通過數(shù)模轉(zhuǎn)換器(DAC)等設(shè)備輸出給其他裝置。許多儀器通過搭載特殊應(yīng)用集成電路(ASIC)來實現(xiàn)信號的處理。然而，現(xiàn)場可編程邏輯門陣列(FPGA)的飛速發(fā)展給我們提供了更加便捷的選項。通過ADC-DSP-DAC的設(shè)計思路，F(xiàn)PGA的可編程性允許我們將不同的DSP算法部署到同一個硬件上。Liquid Instruments的Moku實驗平臺搭載了Xilinx的SoC/FPGA作為核心芯片，可將多達12種不同的測試測量儀器集成到一個硬件平臺上。通過簡單的操作，用戶可以在數(shù)秒內(nèi)切換不同的儀器。Moku平臺的高集成度與快速切換儀器的特性，使其無論是在本科實驗室教學，科研院所，還是商業(yè)產(chǎn)品研發(fā)中都能提供平滑，無縫的用戶體驗。

模數(shù)轉(zhuǎn)換是高質(zhì)量測量的重要環(huán)節(jié)。ADC通常對一個輸入電壓進行采樣，然后將這個電壓轉(zhuǎn)換成一個固定位數(shù)的二進制數(shù)。采樣的速度(采樣率)與輸出的位數(shù)是ADC最重要的兩個特征值。更高的位數(shù)通?？梢允沟媚M信號被更精確的轉(zhuǎn)換并表達。比如，如果我們有一個2 Vpp的輸入范圍，一個8位的ADC最小的量化步驟為 mV。如果我們使用一個12位的ADC，則最小量化步驟可以被減小到 mV。因此，更高的位數(shù)可以給我們提供更精確的測量結(jié)果。然而，更高的ADC位數(shù)會增大整個DSP的數(shù)據(jù)吞吐量。當我們的DSP擁有固定運算能力的時候，ADC最高的位數(shù)通常會被其最高采樣率所限制。但當輸入信號頻率較低時(不需要以最高的采樣率進行采樣時)，一部分的運算能力又可能被浪費。為了提高DSP的運算效率，過采樣技術(shù)被運用到了Moku平臺中。通過過采樣，我們可以犧牲一部分的采樣率來換取更高的有效位數(shù)(ENOB)，保證芯片的運算能力被最有效的利用。我們將向您介紹如何通過 過采樣 的方式提高有效位分辨率。之后通過實驗向您展示Moku:Lab與Moku:Go是如果通過其強大的機載運算能力，在不同的使用場景下自動使用過采樣來提升測量結(jié)果。

圖1：Liquid Instruments 搭載FPGA的Moku:Go(左)與Moku:Lab(右)的測試測量平臺。

過采樣的直觀認識

過采樣在時間軸上，對n個采樣點取平均數(shù)，之后再將這一個平均后的單一數(shù)據(jù)點發(fā)送給后續(xù)的數(shù)字信號處理流程中。這一過程會使有效采樣率下降n倍。要對過采樣有一個直觀的認識，首先我們來復習一下ADC的基本知識。

ADC在指定的頻率下測量一個模擬輸入(Analog Input)的電壓值，并將所測得的電壓值根據(jù)輸入電壓的大小轉(zhuǎn)換成一個二進制數(shù)。假設(shè)我們有一個2位的ADC，它的輸入范圍為0到1 V。圖2中，我們展示了一個簡化的ADC結(jié)構(gòu)圖(左)，以及根據(jù)輸入電壓(x軸)所產(chǎn)生的二進制數(shù)輸出(y軸)。

圖2: 一個簡化版的2位ADC(左)，與其所對應(yīng)的輸入輸出值(右)。

我們假設(shè)這個ADC，在 0 到 0.125 V， 0.125 到 0.375 V， 0.375 到 0.625 V，0.625 到 1 V 的輸入范圍內(nèi)，分別對應(yīng)產(chǎn)生[0, 0]， [0, 1]，[1 ,0]， 與[1, 1]數(shù)字信號。如果我們的系統(tǒng)從這個ADC中得到了[1, 0]的輸出，我們估計輸入的信號為0.5 V。假設(shè)實際的輸入信號為0.4 V，那么在這個過程中，系統(tǒng)產(chǎn)生了0.1 V的量化誤差。這個量化誤差可以通過提高有效位寬得以減小。

現(xiàn)在，讓我們來看一下平均如何幫助我們提高分辨率的。在實際場景中，ADC的輸入電壓與讀取包含了一定輸入噪聲。在這個展示中，我們假設(shè)噪聲為高斯形狀的白噪聲，并且中心值為0.4 V。通過多次采樣，我們可以構(gòu)建一個所得二進制數(shù)輸出的直方圖。

圖3：0.4 V為中心，高斯型狀噪聲的信號演示圖。藍色的直方圖展示了多次采樣后，一種可能的ADC輸出分布。

從圖中可以看出，盡管大多數(shù)采樣點都落在了[1, 0]，然而依然有一些采樣點落在了其他區(qū)域中。如果我們?nèi)∑骄担涂梢缘贸鰧嶋H電壓在0.25 V和0.5 V之間，并更趨近于0.5 V。因此，通過多次采樣(過采樣)，我們可以對輸入電壓的實際值有更好的預(yù)估，打破原有的位數(shù)限制。

然而，在這個過程中我們做了以下假設(shè)：首先，輸入的信號或ADC本身所產(chǎn)生的噪聲為高斯白噪聲。而且，這個噪聲本身超出了相鄰的兩個數(shù)位的檢測界限。如果這些條件不能達成，則過采樣可能并不能有效提高分辨率。

過采樣對分辨率的影響可以通過下面的公式來表述，其中 是ADC原有的采樣率， 為過采樣之后的有效采樣率。

有關(guān)這個公式的具體推導，請參見下列書籍：

Li, Tan. Digital Signal Processing. Academic Press, 2008

過采樣在Moku當中的應(yīng)用

過采樣在許多Moku的儀器中，會根據(jù)用戶的設(shè)置自動啟動。在這個應(yīng)用指南中，我們將展示Moku:Go的數(shù)據(jù)記錄儀與PID控制器是如何通過過采樣來提高測量質(zhì)量的。

Moku:Go數(shù)據(jù)記錄儀

Moku:Go本身搭載了12位的ADC，擁有10或者50 Vpp的輸入范圍。在10 Vpp的范圍下，理論最小量化步驟為10/212，大約為2.44 mV。通過選擇Precision(精準)模式，數(shù)據(jù)記錄儀會自動過采樣以提供更高的分辨率。我們將一個波形發(fā)生器的輸出連入Moku:Go，輸入一個0 V直流信號。然后，我們每10秒增加1 mV的電壓，并使用數(shù)據(jù)記錄儀在10 Sa/s的采樣率下記錄數(shù)據(jù)。

圖4： 通過Moku:Go數(shù)據(jù)記錄儀記錄1 mV階梯形狀信號。

所采集的數(shù)據(jù)被轉(zhuǎn)存為.csv格式發(fā)送到電腦中。所測得的電壓被繪制到了下圖中。我們可見，雖然ADC自身只有12位的分辨率，然后儀器依然可以解析1 mV的增長。

圖5：數(shù)據(jù)記錄儀準確記錄了1 mV的增長。

Moku:Go PID控制器

PID控制器是閉環(huán)控制中常用到的元件。Moku:Go所搭載的FPGA可使其擁有在20 kHz小于30°的輸入輸出延時，可用來控制一些高帶寬設(shè)備。由于輸入輸出延時，Moku的PID可以遠小于125 MSa/s的速率進行采樣。這樣可以提高大約2位的分辨率，使其可以分辨1 mV的信號。在這個實驗中，我們將演示Moku:Go的PID是如何自動應(yīng)用過采樣的。我們關(guān)閉I與D控制器，并將P控制器調(diào)節(jié)到40 dB的增益。這樣，任何輸入信號都會被放大100倍。我們再次輸入圖5中所展示的1 mV階梯信號，并通過PID自帶的觀測點觀察輸出(圖6)。

圖6：Moku:Go PID自動過采樣輸入信號，并將信號再放大100倍后，以100 mV的增長輸出。

輸出的信號被展示在內(nèi)置的示波器中。我們可以看到，盡管ADC的自身分辨率只有2.44 mV，PID依然可以解析1 mV的信號。

結(jié)論

過采樣是一種通過調(diào)節(jié)采樣率，有效提升DSP有效位分辨率的方法。Moku設(shè)備依托于其強大的FPGA信號處理能力，自動將這一個方法應(yīng)用到諸多儀器中，有效的提高了測量的準確性和精度。

原文標題：【分享】數(shù)字信號處理中提升有效位分辨率的方法

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審核編輯：湯梓紅