導(dǎo)讀一圖勝千言，什么？還是動(dòng)畫，那就更棒啦！本文用了大量的資源來(lái)解釋各種梯度下降法（gradient descents），想給大家直觀地介紹一下這些方法是如何工作的。

一圖勝千言，什么？還是動(dòng)畫，那就更棒啦！

在一個(gè)表面上動(dòng)畫演示5個(gè)梯度下降法： 梯度下降（青色） ，momentum（洋紅色） ，AdaGrad （白色） ，RMSProp （綠色） ，Adam （藍(lán)色）。左坑是全局極小值，右坑是局部極小值

在這篇文章中，我用了大量的資源來(lái)解釋各種梯度下降法（gradient descents），想直觀地介紹一下這些方法是如何工作的。通過(guò)我寫的一個(gè)梯度下降可視化工具（https://github.com/lilipads/gradient_descent_viz）的幫助，希望可以向你展示一些獨(dú)特的見(jiàn)解，或者至少是很多GIF ：-）

我假設(shè)大家已經(jīng)對(duì)梯度下降在機(jī)器學(xué)習(xí)中的使用原因和方式有基本的了解。這里的重點(diǎn)是比較這些方法。如果你已經(jīng)熟悉了所有的方法，可以拉到底部觀看一些有趣的“賽馬”。

原版梯度下降（Vanilla Gradient Descent）

讓我們快速?gòu)?fù)習(xí)一下。在機(jī)器學(xué)習(xí)的場(chǎng)景下，梯度下降學(xué)習(xí)的目標(biāo)通常是最小化機(jī)器學(xué)習(xí)問(wèn)題的損失函數(shù)。一個(gè)好的算法能夠快速可靠地找到最小值（也就是說(shuō)，它不會(huì)陷入局部極小值、鞍點(diǎn)或高原區(qū)域，而是尋找全局最小值）。

基本的梯度下降算法遵循的思想是，梯度的相反方向指向較低的區(qū)域。所以它在梯度的相反方向迭代。對(duì)于每個(gè)參數(shù) theta，它做如下操作：

delta = - learning_rate * gradient

theta += delta

Theta 是一些需要優(yōu)化的參數(shù)（例如，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中神經(jīng)元與神經(jīng)元之間連接的權(quán)重，線性回歸特征的系數(shù)，等等）。在機(jī)器學(xué)習(xí)優(yōu)化設(shè)置中可能有成千上萬(wàn)個(gè)這樣的 thetas 。Delta 是算法中每次迭代后 theta 的變化量; 希望隨著每次這樣的變化，theta 逐漸接近最優(yōu)值。

由于人類的感知僅限于三維，在我所有的可視化中，假設(shè)我們只有兩個(gè)參數(shù)（或者 thetas）需要優(yōu)化，它們由圖中的 x 和 y 維表示。曲面是損失函數(shù)。我們要找到在曲面最低點(diǎn)的（x，y）組合。這個(gè)問(wèn)題對(duì)我們來(lái)說(shuō)是顯而易見(jiàn)的，因?yàn)槲覀兛梢钥吹秸麄€(gè)曲面。但是這個(gè)球（下降算法）不能，它一次只能走一步，探索周圍的環(huán)境，就像在黑暗中只用手電筒走路一樣。

原版梯度下降法之所以叫原版，是因?yàn)樗话凑仗荻葋?lái)執(zhí)行。下面的方法對(duì)梯度進(jìn)行一些額外的處理，使其更快、更好。

動(dòng)量（Momentum）

帶有動(dòng)量的梯度下降算法（簡(jiǎn)稱動(dòng)量）借鑒了物理學(xué)的思想。想象一下在無(wú)摩擦的碗里滾動(dòng)一個(gè)球。沒(méi)有在底部停止，而是積累的動(dòng)量推動(dòng)它前進(jìn)，球繼續(xù)前后滾動(dòng)。

我們可以把動(dòng)量的概念應(yīng)用到我們的原版梯度下降算法中。在每個(gè)步驟中，除了常規(guī)的梯度之外，它還增加了前一步中的移動(dòng)。在數(shù)學(xué)上，它通常表示為：

delta = - learning_rate * gradient + previous_delta * decay_rate （方程1）

theta += delta （方程2）

我發(fā)現(xiàn)如果我稍微修改一下這個(gè)方程，然后跟蹤（衰減的）累積梯度之和，會(huì)更直觀。當(dāng)我們稍后引入 Adam 算法時(shí)，這也會(huì)使事情變得更簡(jiǎn)單。

sum_of_gradient = gradient + previous_sum_of_gradient * decay_rate （方程3）

delta = -learning_rate * sum_of_gradient （方程4）

theta += delta （方程5）

（我所做的是分解出學(xué)習(xí)率。為了看到數(shù)學(xué)等價(jià)性，可以用-learning_rate * sum_of_gradient代替方程1中的delta 以得到方程3.）

讓我們考慮兩個(gè)極端情況來(lái)更好地理解這個(gè)衰減率（decay rate）參數(shù)。如果衰減率為0，那么它與原版梯度下降完全相同。如果衰減率是1，那么它就會(huì)像我們開(kāi)始提到的無(wú)摩擦碗的類比一樣，前后不斷地?fù)u擺; 你不會(huì)想要這樣的結(jié)果。通常衰減率選擇在0.8-0.9左右，它就像一個(gè)有一點(diǎn)摩擦的表面，所以它最終會(huì)減慢并停止。

那么，在哪些方面動(dòng)量比原版梯度下降更好呢？在上面的比較中，你可以看到兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：

動(dòng)量移動(dòng)得更快（因?yàn)樗e累的所有動(dòng)量）

動(dòng)量有機(jī)會(huì)逃脫局部極小值（因?yàn)閯?dòng)量可能推動(dòng)它脫離局部極小值）。同樣，我們將在后面看到，它也將更好地通過(guò)高原區(qū)

AdaGrad

Adaptive Gradient 算法，簡(jiǎn)稱 AdaGrad，不是像動(dòng)量一樣跟蹤梯度之和，而是跟蹤梯度平方之和，并使用這種方法在不同的方向上調(diào)整梯度。這些方程通常用張量表示。我將避免使用張量來(lái)簡(jiǎn)化這里的語(yǔ)言。對(duì)于每個(gè)維度：

sum_of_gradient_squared = previous_sum_of_gradient_squared + gradient2

delta = -learning_rate * gradient / sqrt（sum_of_gradient_squared）

theta += delta

在機(jī)器學(xué)習(xí)優(yōu)化中，一些特征是非常稀疏的。稀疏特征的平均梯度通常很小，所以這些特征的訓(xùn)練速度要慢得多。解決這個(gè)問(wèn)題的一種方法是為每個(gè)特征設(shè)置不同的學(xué)習(xí)率，但這很快就會(huì)變得混亂。

Adagrad 解決這個(gè)問(wèn)題的思路是： 你已經(jīng)更新的特征越多，你將來(lái)更新的就越少，這樣就有機(jī)會(huì)讓其它特征（例如稀疏特征）趕上來(lái)。用可視化的術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，更新這個(gè)特征的程度即在這個(gè)維度中移動(dòng)了多少，這個(gè)概念由梯度平方的累積和表達(dá)。注意在上面的一步一步的網(wǎng)格插圖中，如果沒(méi)有重新縮放調(diào)整（1b） ，球大部分會(huì)垂直向下移動(dòng); 如果有調(diào)整（1d） ，它會(huì)沿對(duì)角線方向移動(dòng)。

這個(gè)屬性讓 AdaGrad （以及其它類似的基于梯度平方的方法，如 RMSProp 和 Adam）更好地避開(kāi)鞍點(diǎn)。Adagrad 將采取直線路徑，而梯度下降（或相關(guān)的動(dòng)量）采取的方法是“讓我先滑下陡峭的斜坡，然后才可能擔(dān)心較慢的方向”。有時(shí)候，原版梯度下降可能非常滿足的僅僅停留在鞍點(diǎn)，那里兩個(gè)方向的梯度都是0。

RMSProp

然而，AdaGrad 的問(wèn)題在于它非常慢。這是因?yàn)樘荻鹊钠椒胶椭粫?huì)增加而不會(huì)減小。Rmsprop （Root Mean Square Propagation）通過(guò)添加衰減因子來(lái)修復(fù)這個(gè)問(wèn)題。

sum_of_gradient_squared = previous_sum_of_gradient_squared * decay_rate+ gradient2 * （1- decay_rate）

delta = -learning_rate * gradient / sqrt（sum_of_gradient_squared）

theta += delta

更精確地說(shuō)，梯度的平方和實(shí)際上是梯度平方的衰減和。衰減率表明的是只是最近的梯度平方有意義，而很久以前的梯度基本上會(huì)被遺忘。順便說(shuō)一句，“衰減率”這個(gè)術(shù)語(yǔ)有點(diǎn)用詞不當(dāng)。與我們?cè)趧?dòng)量中看到的衰減率不同，除了衰減之外，這里的衰減率還有一個(gè)縮放效應(yīng)： 它以一個(gè)因子（1 - 衰減率）向下縮放整個(gè)項(xiàng)。換句話說(shuō)，如果衰減率設(shè)置為0.99，除了衰減之外，梯度的平方和將是 sqrt （1-0.99） = 0.1，因此對(duì)于相同的學(xué)習(xí)率，這一步大10倍。

為了看到衰減的效果，在這個(gè)對(duì)比中，AdaGrad （白色）最初與 RMSProp （綠色）差不多，正如調(diào)整學(xué)習(xí)率和衰減率的預(yù)期。但是 AdaGrad 的梯度平方和累計(jì)得非?？?，以至于它們很快變得非常巨大（從動(dòng)畫中方塊的大小可以看出）。買路費(fèi)負(fù)擔(dān)沉重，最終 AdaGrad 幾乎停止了。另一方面，由于衰變率的原因，RMSProp 一直將方塊保持在一個(gè)可控的大小。這使得 RMSProp 比 AdaGrad 更快。

Adam

最后但并非最不重要的是，Adam （Adaptive Moment Estimation）同時(shí)兼顧了動(dòng)量和 RMSProp 的優(yōu)點(diǎn)。Adam在實(shí)踐中效果很好，因此在最近幾年，它是深度學(xué)習(xí)問(wèn)題的常用選擇。

讓我們來(lái)看看它是如何工作的：

sum_of_gradient = previous_sum_of_gradient * beta1 + gradient * （1 - beta1） ［Momentum］

sum_of_gradient_squared = previous_sum_of_gradient_squared * beta2 + gradient2 * （1- beta2） ［RMSProp］

delta = -learning_rate * sum_of_gradient / sqrt（sum_of_gradient_squared）

theta += delta

Beta1是一階矩梯度之和（動(dòng)量之和）的衰減率，通常設(shè)置為0.9。Beta2是二階矩梯度平方和的衰減率，通常設(shè)置為0.999。

Adam 的速度來(lái)自于動(dòng)量和RMSProp 適應(yīng)不同方向的梯度的能力。這兩者的結(jié)合使它變得更強(qiáng)大。

結(jié)束語(yǔ)

現(xiàn)在我們已經(jīng)討論了所有的方法，讓我們觀看幾個(gè)比賽，包含所有我們上面提到的下降方法！（有一些不可避免的參數(shù)挑選。最好自己玩一下）

在這個(gè)地形中，有兩座小山阻擋了通往全局極小值的道路。Adam是唯一一個(gè)能夠找到通往全局極小值的算法。無(wú)論以哪種方式調(diào)整參數(shù)，至少?gòu)倪@個(gè)起始位置開(kāi)始，沒(méi)有任何其它方法可以到達(dá)那里。這意味著不管是動(dòng)量還是自適應(yīng)梯度都不能單獨(dú)做到這一點(diǎn)。這實(shí)際上是兩者的結(jié)合： 首先，動(dòng)量使Adam越過(guò)了所有其它球停止的局部極小值點(diǎn); 然后對(duì)梯度平方和的調(diào)整使其側(cè)向移動(dòng)，因?yàn)檫@是一個(gè)未被探索的方向，導(dǎo)致了它的最終勝利。

這是另一場(chǎng)比賽。在這個(gè)地形中，圍繞著全局極小值有一個(gè)平坦的區(qū)域（高原）。通過(guò)一些參數(shù)調(diào)整，Momentum 和 Adam （多得其動(dòng)量組件）可以到達(dá)中心，而其它方法不能。

總之，梯度下降法算法是一類通過(guò)梯度來(lái)尋找函數(shù)最小點(diǎn)的算法。原版梯度下降只遵循梯度（按學(xué)習(xí)速率進(jìn)行調(diào)整）。改善梯度下降法的兩個(gè)常用工具是梯度之和（一階矩）和梯度平方之和（二階矩）。動(dòng)量利用一階矩的衰減率來(lái)獲得速度。Adagrad 使用沒(méi)有衰減的二階矩來(lái)處理稀疏特征。Rmsprop 使用二階矩的衰減率來(lái)加速 AdaGrad。Adam同時(shí)使用一階矩和二階矩，通常是最好的選擇。還有一些其它的梯度下降算法，比如 Nesterov 加速梯度算法，AdaDelta 算法等等，在本文中沒(méi)有涉及。

最后，展示一下帶著沒(méi)有衰減的動(dòng)量下降。它的路徑構(gòu)成了一個(gè)有趣的模式。沒(méi)有什么實(shí)際的用處，但是在這里展示它只是為了好玩。