用過(guò)DSP的應(yīng)該都知道Q格式吧；

• 1 前言

• 2 Q數(shù)據(jù)的表示

  • 2.1 范圍和精度

  • 2.2 推導(dǎo)

• 3 Q數(shù)據(jù)的運(yùn)算

  • 3.1 0x7FFF

  • 3.2 0x8000

  • 3.3 加法

  • 3.4 減法

  • 3.5 乘法

  • 3.6 除法

• 4 常見(jiàn)Q格式的數(shù)據(jù)范圍

• 5 0x5f3759df

• 6 總結(jié)

1 前言

Q格式是二進(jìn)制的定點(diǎn)數(shù)格式，相對(duì)于浮點(diǎn)數(shù)，Q格式指定了相應(yīng)的小數(shù)位數(shù)和整數(shù)位數(shù)，在沒(méi)有浮點(diǎn)運(yùn)算的平臺(tái)上，可以更快地對(duì)浮點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，以及應(yīng)用在需要恒定分辨率的程序中（浮點(diǎn)數(shù)的精度是會(huì)變化的）；
需要注意的是Q格式是概念上小數(shù)定點(diǎn)，通過(guò)選擇常規(guī)的二進(jìn)制數(shù)整數(shù)位數(shù)和小數(shù)位數(shù)，從而達(dá)到所需要的數(shù)值范圍和精度，這里可能有點(diǎn)抽象，下面繼續(xù)看介紹。

2 Q數(shù)據(jù)的表示

2.1 范圍和精度

定點(diǎn)數(shù)通常表示為，其中m為整數(shù)個(gè)數(shù)，n為小數(shù)個(gè)數(shù)，其中最高位位符號(hào)位并且以二進(jìn)制補(bǔ)碼的形式存儲(chǔ)；

• 范圍：
• 精度：

無(wú)符號(hào)的用表示；

• 范圍：
• 精度：

2.2 推導(dǎo)

無(wú)符號(hào)Q格式數(shù)據(jù)的推導(dǎo)這里以一個(gè)16位無(wú)符號(hào)整數(shù)為例，所能表示的最大數(shù)據(jù)的二進(jìn)制形式如下圖所示；

所以不難看出，的范圍大小和精度；根據(jù)等比數(shù)列求和公式得到，整數(shù)域最大值如下：

小數(shù)域最大值如下：

因此的范圍滿(mǎn)足 ；

有符號(hào)Q格式數(shù)據(jù)的推導(dǎo)這里以一個(gè)16位有符號(hào)整數(shù)為例，所能表示的最大數(shù)據(jù)的二進(jìn)制形式如下圖所示；

所以不難求出，的范圍大小和精度；根據(jù)等比數(shù)列求和公式得到，整數(shù)域最大值如下：

小數(shù)域最大值如下：

因此最大能表示的數(shù)為：；

所能表示的最小數(shù)據(jù)的二進(jìn)制形式如下圖所示；

可以從圖中看到，該數(shù)表示為；

補(bǔ)充一下：負(fù)數(shù)在計(jì)算機(jī)中是補(bǔ)碼的形式存在的，補(bǔ)碼=反碼+1，符號(hào)位為1則表示為負(fù)數(shù)；
那么-4該如何表示呢？
以8 bit數(shù)據(jù)為例，如下所示；
原碼：0B 0000 100
反碼：0B 1111 011
補(bǔ)碼：0B 1111 100

綜上，可以得到有符號(hào)的范圍是：

3 Q數(shù)據(jù)的運(yùn)算

3.1 0x7FFF

最大數(shù)的十六進(jìn)制為0x7FFF，如下圖所示；

3.2 0x8000

最小數(shù)的十六進(jìn)制為0X8000，如下圖所示；

上述這兩種情況，下面都會(huì)用到。

3.3 加法

加法和減法需要兩個(gè)Q格式的數(shù)據(jù)定標(biāo)相同，即和滿(mǎn)足以下條件；

int16_tq_add(int16_ta,int16_tb)
{
returna+b;
}

上面的程序其實(shí)并不安全，在一般的DSP芯片具有防止溢出的指令，但是通常需要做一下溢出檢測(cè)，具體如下所示；

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int16_tq_add_sat(int16_ta,int16_tb)
{
int16_tresult;
int32_ttmp;

tmp=(int32_t)a+(int32_t)b;
if(tmp>0x7FFF)
tmp=0x7FFF;
if(tmp-1*0x8000)
tmp=-1*0x8000;
result=(int16_t)tmp;

returnresult;
}

3.4 減法

類(lèi)似于加法的操作，需要相同定標(biāo)的兩個(gè)Q格式數(shù)進(jìn)行相減，但是不會(huì)存在溢出的情況；

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int16_tq_sub(int16_ta,int16_tb)
{
returna-b;
}

3.5 乘法

乘法同樣需要考慮溢出的問(wèn)題，這里通過(guò)sat16函數(shù)，對(duì)溢出做了處理；

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//precomputedvalue:
#defineK(1<

//saturatetorangeofint16_t
int16_tsat16(int32_tx)
{
if(x>0x7FFF)return0x7FFF;
elseif(x-0x8000)return-0x8000;
elsereturn(int16_t)x;
}

int16_tq_mul(int16_ta,int16_tb)
{
int16_tresult;
int32_ttemp;

temp=(int32_t)a*(int32_t)b;//resulttypeisoperand'stype
//Rounding;midvaluesareroundedup
temp+=K;
//Correctbydividingbybaseandsaturateresult
result=sat16(temp>>Q);

returnresult;
}

3.6 除法

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int16_tq_div(int16_ta,int16_tb)
{
/*pre-multiplybythebase(UpscaletoQ16sothattheresultwillbeinQ8format)*/
int32_ttemp=(int32_t)a</*Rounding:midvaluesareroundedup(downfornegativevalues).*/
/*ORcomparemostsignificantbitsi.e.if(((temp>>31)&1)==((b>>15)&1))*/
if((temp>=0&&b>=0)||(temp0&&b0)){
temp+=b/2;/*ORshift1biti.e.temp+=(b>>1);*/
}else{
temp-=b/2;/*ORshift1biti.e.temp-=(b>>1);*/
}
return(int16_t)(temp/b);
}

4 常見(jiàn)Q格式的數(shù)據(jù)范圍

定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)換的關(guān)系滿(mǎn)足以下公式：

其中為，m表示整數(shù)位數(shù)，n表示小數(shù)位數(shù)；

#include
#include
#include


intmain()
{
//0111111111111111
int16_tq_max=32767;//0x7FFF
//1000000000000000
int16_tq_min=-32768;//0x8000
floatf_max=0;
floatf_min=0;
printf("
");
for(int8_ti=15;i>=0;i--){
f_max=(float)q_max/pow(2,i);
f_min=(float)q_min/pow(2,i);

printf("	|Q%d|Q%d.%d|%f|%f|
",
i,(15-i),i,f_max,f_min);
}

return0;
}

運(yùn)行得到結(jié)果如下所示；

5 0x5f3759df

Q格式雖然十分抽象，但是且看看這個(gè)數(shù)字0x5f3759df，感覺(jué)和Q格式有某種聯(lián)系，它是雷神之錘3中的一個(gè)算法的魔數(shù)，畢竟游戲引擎需要充分考慮到效率，具體的由來(lái)可以看一下論文《Fast Inverse Square Root》，下面是源碼中剝出來(lái)的快速平方根算法；

floatQ_rsqrt(floatnumber)
{
longi;
floatx2,y;
constfloatthreehalfs=1.5F;

x2=number*0.5F;
y=number;
i=*(long*)&y;//evilfloatingpointbitlevelhacking
i=0x5f3759df-(i>>1);//whatthefuck?
y=*(float*)&i;
y=y*(threehalfs-(x2*y*y));//1stiteration
//y=y*(threehalfs-(x2*y*y));//2nditeration,thiscanberemoved

#ifndefQ3_VM
#ifdef__linux__
assert(!isnan(y));//bk010122-FPE?
#endif
#endif
returny;
}

6 總結(jié)

本文介紹了Q格式的表示方式以及相應(yīng)的運(yùn)算，另外需要注意在Q格式運(yùn)算的時(shí)候，兩者定標(biāo)必須相同，對(duì)于數(shù)據(jù)的溢出檢測(cè)也要做相應(yīng)的處理。

審核編輯：湯梓紅