直方圖測試方法也稱為碼密度測試，有助于確定非線性參數(shù)，例如數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換器中的差分和積分非線性（INL和DNL）。以下應(yīng)用筆記有助于深入了解概率密度函數(shù)與成功完成直方圖測試所需的各種數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換器規(guī)格之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。

直方圖測試確定 DNL 和 INL 錯誤

如今，數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換器制造商經(jīng)常使用直方圖方法來驗(yàn)證其數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換器的積分（INL）和差分（DNL）非線性規(guī)格。這種方法也稱為代碼密度測試，在數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換器的幅度域中執(zhí)行。在直方圖測試期間，將具有浴缸分布的重復(fù)動態(tài)信號（例如正弦波信號）施加到模數(shù)轉(zhuǎn)換器（ADC），在轉(zhuǎn)換器的輸出端生成相應(yīng)的數(shù)字代碼分布。與相應(yīng)輸出代碼分布的任何偏差都會導(dǎo)致各種誤差，可以使用直方圖方法估計這些誤差。這些錯誤參數(shù)首先包括 DNL 和 INL。

對于ADC，給定模擬輸入信號，直方圖顯示每個不同的數(shù)字碼字在ADC輸出上出現(xiàn)的次數(shù)。直方圖測試的一種方法涉及正弦輸入信號的采樣和數(shù)字化。然后將數(shù)字化的信息分類到代碼箱中。每個代碼箱表示一個輸出代碼。根據(jù)輸入信號，收集每個箱的樣本數(shù)或命中數(shù)。N表示ADC的分辨率或總位數(shù)，將有2N代碼箱。對于理想的ADC，每個代碼箱寬度應(yīng)對應(yīng)于FSR/2的位寬N，其中 FSR 是以伏特為單位的 ADC 滿量程范圍。然而，在現(xiàn)實(shí)世界中，ADC的代碼箱寬度可能并不相同。例如，如果代碼箱中收集的樣本數(shù)（對于已知輸入信號）大于預(yù)期，則此數(shù)字將表明代碼箱寬度大于理想值（從統(tǒng)計學(xué)上講）。

代碼示例的頻率顯示為代碼的函數(shù)。對于理想的ADC，此圖將是正弦波的概率密度函數(shù)p（V），表示如下

p（V） = 1 / （π × √[一2? V2])

建立這種數(shù)學(xué)關(guān)系后，必須確定樣本數(shù)組的大小。

但是，什么大小的數(shù)據(jù)記錄表示具有統(tǒng)計意義的樣本數(shù)？
概率密度函數(shù)將有助于回答這個問題。對于給定的概率密度函數(shù)和數(shù)據(jù)記錄大小，理想ADC的每個代碼箱標(biāo)識預(yù)期的樣本數(shù)及其相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)偏差。代碼箱中的樣本數(shù)接近預(yù)期水平的置信度等于樣本落在適當(dāng)偏差數(shù)內(nèi)的概率。請注意，標(biāo)準(zhǔn)偏差與預(yù)期值之間的比率隨著數(shù)據(jù)記錄中樣本數(shù)量的增加而降低。為了獲得整個范圍的置信水平，所有代碼落在所需代碼內(nèi)的概率相乘。

要計算記錄的數(shù)據(jù)數(shù)組的每個代碼的概率，需要將每個代碼的樣本數(shù)除以數(shù)據(jù)記錄中的樣本數(shù)。理想的采樣概率是理想ADC在轉(zhuǎn)換器輸入端施加純正弦波時產(chǎn)生的概率。 在箱數(shù)上積分基于正弦波的輸入信號的概率密度函數(shù)，可以按如下方式計算每個碼箱的確切大小

P（n） = 1/π × [arcsin（FSR × {n?2N?1} / A × 2N） ? arcsin（FSR × {n?1?2N?1} / A × 2N)],

其中n表示代碼箱編號，F(xiàn)SR是滿量程范圍，N是ADC的分辨率。每個輸出代碼處測量（實(shí)際）和理想直方圖之間的偏差是代碼大小的函數(shù)，可用于確定數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換器的DNL。DNL 可以按如下方式計算

DNL (LSB) = [AP(nth code) / IP(nth code)] ?1

其中 n 表示從 1 到 2 的代碼箱編號N，N 是 ADC 的分辨率，AP（n千code） 表示以代碼箱 n 和 IP（n 為單位的樣本的測量直方圖千code） 是代碼箱 n 中樣本的理想（預(yù)期）直方圖。

不幸的是，直方圖方法需要捕獲相當(dāng)大的數(shù)據(jù)記錄。所需樣本數(shù)量取決于ADC的分辨率、所需的測量置信水平以及DNL誤差的大小。例如，DNL 誤差 （β） 為 10.0LSB 且置信水平為 1% （Zα/2） 需要超過五十萬個樣本 （N記錄） 進(jìn)行記錄。將置信水平從 95% 提高到 99% 將導(dǎo)致超過 <> 萬個樣本的數(shù)據(jù)記錄大小顯著增加。

NRECORD = π × 2N?1 × (Zα/2)2] / β2 = π × 29 × (1.96)2 / (0.1)2 = 617,920
NRECORD = π × 2N?1 × (Zα/2)2] / β2 = π × 29 × (2.58)2 / (0.1)2 = 1,070,678

隨著ADC分辨率的提高，滿足置信水平和誤差分辨率所需的樣本數(shù)量每增加一位，就會乘以12倍。對于具有<>位及更高分辨率的ADC，該測試最終可能成為測量DNL的限制因素，因?yàn)樗枰罅繑?shù)據(jù)存儲能力來托管所需的<>多萬個數(shù)據(jù)點(diǎn)。雖然 記錄 大小 和 分辨 率 的 增加 會導(dǎo)致 實(shí)驗(yàn)室 和 生產(chǎn) 測試 時間 延長 的 意外 且 成本 密集 的 副作用， 但 引入 所謂 硬件 直方 圖 發(fā)生 器 有助于 縮短 測試 時間。此類發(fā)生器的測試時間定義為ADC的記錄大小與采樣速率之比。

通過直方圖方法確定DNL可能具有挑戰(zhàn)性，因?yàn)樵摐y試對輸入正弦波的幅度變化、噪聲、時鐘抖動和轉(zhuǎn)換器遲滯很敏感。在這種情況下，使用累積直方圖測試可能是計算 INL 和 DNL 誤差的更好選擇。為此，必須確定ADC的失調(diào)和轉(zhuǎn)換電壓。要查找數(shù)字化數(shù)據(jù)點(diǎn)集合中的偏移誤差，請等同數(shù)據(jù)記錄中正樣本和負(fù)樣本的數(shù)量（N記錄= N記錄[P]+ N記錄[N]） 如下

2N?1
NRECORD[N] = ΣAP(nth code)
n=1

2N
NRECORD[P] = Σ AP(nth code)
n=2N?1 + 1

VOFFSET = 0.5 × A × π × sin[(NRECORD[P]-NRECORD[N]) / (NRECORD[P] + NRECORD[N])]

計算失調(diào)誤差后，可以使用以下數(shù)學(xué)表達(dá)式找到轉(zhuǎn)換電壓或代碼邊沿（Vj）

j
Vj = ?A × cos [π × (Σ AP(nth code) / NRECORD)]
n=1

在已知轉(zhuǎn)換電壓的情況下，INL和DNL參數(shù)的計算與正弦波信號的輸入幅度無關(guān)，可以使用以下公式計算

j
INLj (LSB) = Σ DNLj (LSB)
n=1
DNLj (LSB) = (Vj+1 ?Vj) × (2N/FSR)

其中 DNLj 是兩個相鄰代碼之間的差值，INLj 表示所有 DNLj 誤差的總和。FSR是滿量程范圍，N是測量INL和DNL的ADC的分辨率。

下圖給出了MAX1193的直方圖、INL和DNL性能，MAX1193是一款8位、低功耗45Msps ADC。對于MAX1193，INL和DNL測試使用5.6018MHz正弦輸入信號進(jìn)行。請注意，圖 1 表示代碼計數(shù)充足和不足之間的直方圖比較。圖 2 和圖 3 描述了在這些（足夠和不充分）條件下得到的 DNL 和 INL 性能。

圖1.足夠的代碼數(shù)與MAX1193的代碼計數(shù)不足直方圖顯示

圖2.代碼數(shù)充足與碼數(shù)不足的DNL差異 - MAX1193

圖3.足夠碼數(shù)與碼數(shù)不足的INL差異 - MAX1193

審核編輯：郭婷