繞組是電和磁的橋梁，匝鏈繞組的磁通發(fā)生變化時，繞組中就產(chǎn)生感應(yīng)電勢；反過來繞組中通以電流時，就會產(chǎn)生磁場，因此電機(jī)繞組的核心作用就是產(chǎn)生感應(yīng)電勢和磁勢，電勢和磁勢是反映繞組電磁特性的兩個方面，二者雖然物理意義不同，但分析時具有相同的數(shù)學(xué)形式，存在著許多內(nèi)在的共性，從電勢觀點(diǎn)所得出的某些分析結(jié)論，往往可以直接用于磁勢的分析。接下來我們將分幾期來分別介紹繞組產(chǎn)生的電勢和磁勢，揭示它們之間的內(nèi)在聯(lián)系和共性規(guī)律，本期先從繞組的感應(yīng)電勢講起。表征繞組中感應(yīng)電勢的物理量包括電勢的大小(幅值、有效值)、波形、頻率以及相位等，這些都與氣隙磁場的大小、轉(zhuǎn)速、波形、初始位置等密切相關(guān)，本期先講正弦磁場下繞組的電勢，即基波感應(yīng)電勢。首先從單根導(dǎo)體的感應(yīng)電勢開始，推導(dǎo)出單匝線圈的感應(yīng)電勢，再根據(jù)線圈的連接關(guān)系進(jìn)一步推導(dǎo)出線圈組的電勢，進(jìn)而得出相電勢和三相繞組的電勢。

1 單根導(dǎo)體產(chǎn)生的基波電勢

1.1 基波感應(yīng)電勢的波形

如圖1所示，為一臺兩極同步電機(jī)示意圖，定子表面只有一個槽，槽內(nèi)嵌放一根導(dǎo)體。

?

當(dāng)氣隙磁場旋轉(zhuǎn)時，導(dǎo)體便“切割”氣隙磁場，產(chǎn)生感應(yīng)電勢。設(shè)氣隙磁密為正弦分布：

b=B1?sinα (1)

式中：B1為氣隙磁密幅值；α為距離原點(diǎn)的電角度，原點(diǎn)位置取兩極中間的分界點(diǎn)。

設(shè)t=0時α=0，即導(dǎo)體初始位置位于兩極分界點(diǎn)，則隨著磁極以角速度ω旋轉(zhuǎn)，α=ωt，則導(dǎo)體中的基波感應(yīng)電勢即為：

e1=blv=B1lv?sinωt=2^??E1?sinωt (2)

式中：E1=B1lv/2^?為導(dǎo)體感應(yīng)電勢的有效值；l為導(dǎo)體的有效長度；v為導(dǎo)體“切割”磁力線的速度。由⑴、⑵式可見，若氣隙磁密呈正弦分布，以恒定轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)時，則定子導(dǎo)體中的感應(yīng)電勢就是隨時間呈正弦變化的交流電勢，感應(yīng)電勢隨時間變化的波形如圖1c所示。

1.2 基波感應(yīng)電勢的頻率

如圖1所示兩極電機(jī)(極對數(shù)p=1)轉(zhuǎn)子每旋轉(zhuǎn)一周，導(dǎo)體中的感應(yīng)電勢就交變一次，若電機(jī)為p對極，則轉(zhuǎn)子每旋轉(zhuǎn)一周，導(dǎo)體中的感應(yīng)電勢就交變p次，設(shè)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為n(轉(zhuǎn)/分鐘)，則感應(yīng)電勢的頻率即為：

f=pn/60 (3)

由⑶式可見，感應(yīng)電勢的頻率與電機(jī)的極對數(shù)和轉(zhuǎn)速密切相關(guān)，式中的n被稱為同步轉(zhuǎn)速，常用n1或ns表示。

1.3 單根導(dǎo)體感應(yīng)電勢的大小

由⑵式可知，單根導(dǎo)體的感應(yīng)電勢有效值為：

E1=B1lv/2^?(4)

其中線速度：

v=π?Di?n/60=2τf (5)

式中：Di為定子內(nèi)徑；τ=πDi/(2p)為極距。

將⑸式代入⑷式得：

E1=B1?l?(2τf)/2^?=(2^?)?f?B1?τ?l (6)

若氣隙磁密為正弦分布，則磁密的平均值為：

Bav=(1/π)∫【0~π】B1sinα?dα=(2/π)?B1(7)

B1=(π/2)?Bav(8)

將⑻式代入⑹式得：

E1=(2^?)?f?(π/2)(Bav?τ?l)=2.22?f?Φ1 (9)

式中：Φ1=Bav?τ?l，為每極磁通(Wb)。

2 單個線圈的基波電勢

2.1 整距線圈的電勢

一個單匝線圈由兩根導(dǎo)體反向串聯(lián)組成，由于兩根導(dǎo)體的電勢都是隨時間正弦變化，因此可以用相量來進(jìn)行和運(yùn)算。設(shè)兩個導(dǎo)體的電勢相量分別為E1′和E1″，則這個單匝線圈的電勢即為：

Ec1=E1′-E1″ (10)

對于整距線圈，當(dāng)一根導(dǎo)體位于N極中心線時，另一個導(dǎo)體必然位于S極的中心線處，如圖2所示，兩個導(dǎo)體的感應(yīng)電勢相位正好相反，即E1′=-E1″，二者反向串聯(lián)后得到單匝線圈的感應(yīng)電勢即為：

Ec1(整距)=E1′-E1″=2E1′=4.44?f?Φ1 (11)

如果線圈的匝數(shù)為W，則線圈的電勢即為：

Ec1(整距)=4.44?f?W?Φ1 (12)

這就是傳說中的“4.44公式”，它是電機(jī)學(xué)里的經(jīng)典公式，搞電機(jī)的同學(xué)們應(yīng)該對它爛熟于心。

以上是從“Blv”觀點(diǎn)出發(fā)推導(dǎo)出的這個公式，這個公式還可以通過“e=-W?dΦ/dt”的觀點(diǎn)推出。設(shè)t=0時整距線圈的兩個邊分別位于NS極的分割線上，此時匝鏈線圈的磁通最大，為Φ1 ，若氣隙磁場為正弦分布，隨著氣隙磁場的旋轉(zhuǎn)，匝鏈線圈的磁通將隨時間呈余弦變化，即：

Φ=Φ1 ?cosωt (13)

則線圈的感應(yīng)電勢：

e=-W?dΦ/dt=-W?ω?Φ1 ?(-sinωt)=W?2πf?Φ1 ?sinωt (14)

其有效值為：

Ec1(整距)=f?W?Φ1 ?(2π/2^?)=4.44?f?W?Φ1 (15)

由(12)和(15)可見，用“Blv”觀點(diǎn)和“e=-W?dΦ/dt”觀點(diǎn)推導(dǎo)出了同樣的結(jié)論。

順便解釋一個許多同學(xué)糾結(jié)的問題，有人覺得“Blv”觀點(diǎn)是錯誤的，因為通常導(dǎo)體是嵌放在鐵心槽里的，而槽內(nèi)的磁場B幾乎為0，用這個觀點(diǎn)推導(dǎo)出感應(yīng)電勢也應(yīng)該是幾乎為0。關(guān)于這個問題可以這樣理解：首先“Blv”觀點(diǎn)來自初中物理中導(dǎo)體“切割磁力線”產(chǎn)生感應(yīng)電勢這個知識點(diǎn)，由于在初中階段的數(shù)學(xué)知識所限，不大可能用電磁場的概念和相關(guān)數(shù)學(xué)模型去解釋物理現(xiàn)象，建立非常精確的理論體系，只能用初等數(shù)學(xué)的知識來描述電磁感應(yīng)現(xiàn)象，因此在初中階段“Blv”觀點(diǎn)可以完美地解釋和描述導(dǎo)體在勻強(qiáng)磁場下做切割磁力線運(yùn)動產(chǎn)生感應(yīng)電勢這種非常簡單場合下的物理規(guī)律。對于像電機(jī)中這樣復(fù)雜的電磁場問題，再用“Blv”觀點(diǎn)去精確推導(dǎo)一些結(jié)論的確存在一些瑕疵，應(yīng)該采用更加精確的電磁場數(shù)學(xué)模型——麥克斯韋方程組來推導(dǎo)，即采用“e=-W?dΦ/dt”觀點(diǎn)計算感應(yīng)電勢更加確切。雖然“Blv”觀點(diǎn)有瑕疵，但瑕不掩瑜，既然“Blv”觀點(diǎn)推導(dǎo)過程中，B采用的是氣隙磁密，而不是槽內(nèi)磁場的磁密，卻得出了用“e=-W?dΦ/dt”觀點(diǎn)推導(dǎo)同樣的結(jié)論，那你就認(rèn)為“Blv”觀點(diǎn)中的B代表氣隙磁密，就不要鉆牛角尖非得糾結(jié)這個B不是槽內(nèi)磁密了！如果你一定要較勁，認(rèn)為“Blv”中的B就應(yīng)該是槽內(nèi)磁密，OK！那我們就死磕到底，如果這里的B是槽內(nèi)磁密，那么這里的v就必須得是槽內(nèi)導(dǎo)體切割磁力線的速度，而不能是氣隙旋轉(zhuǎn)磁場的線速度，那么槽內(nèi)導(dǎo)體切割磁力線的速度該怎么算呢？我們說槽內(nèi)導(dǎo)體“切割磁力線”，是指一開始磁力線集中在這個槽的一側(cè)的齒中(假設(shè)右側(cè)齒中)，然后在極短的時間內(nèi)快速“跳變”到槽的另一側(cè)(左側(cè))齒中，我們把這個過程稱為槽內(nèi)導(dǎo)體“切割了磁力線”，這個過程極其短暫以致于幾乎不用時間，也就是說，切割磁力線的速度是接近無窮大，這樣槽內(nèi)的磁密B趨近于0，而切割磁力線的速度v卻趨近于無窮大，一個無窮小和一個無窮大相乘并不一定是0，那應(yīng)該是多少呢？告訴你經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)推導(dǎo)，二者的乘積就等于氣隙磁密與旋轉(zhuǎn)磁場的線速度的乘積，考慮到同學(xué)們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和篇幅所限，這里就不詳細(xì)推導(dǎo)了，只需你記住一點(diǎn)，就是用“Blv”觀點(diǎn)推導(dǎo)時，其中的B要用氣隙磁密，而不是用槽內(nèi)磁密即可，如果非得較勁，我們也能跟您死磕到底！

2.2 非整距線圈的基波電勢

若線圈不是整距線圈，即短距Y1＜τ(或長距Y1＞τ)，則一個線圈中的兩個導(dǎo)體產(chǎn)生的感應(yīng)電勢相位就不是正好反相位，而是相差了γ=(Y1/τ)?180o的電角度，如圖2c所示，此時線圈的電勢就不應(yīng)該是兩根導(dǎo)體電勢E1′和-E″的代數(shù)和，而是二者的相量和，以短距線圈為例：

Ec1(短距)=E1′∠0o-E1″∠γ=2E1′? sin[(Y1/τ)?90o]=4.44?Kp1?f?Φ1 (16)

若線圈的匝數(shù)為W，則單個線圈的電勢為：

Ec1(短距)=4.44?Kp1?W?f?Φ1 =Kp1?Ec1(整距)(17)

式中：Kp1稱為線圈的基波短距系數(shù)，其物理意義是線圈短距時由于兩根導(dǎo)體的電勢不是正好反相位，二者相量疊加后的線圈電勢大小就不會等于整距線圈的電勢(單根導(dǎo)體電勢的2倍)，而是略小于整距線圈的電勢，相當(dāng)于短距線圈的電勢在整距線圈電勢基礎(chǔ)上打了一個折扣，這個折扣就是Kp1。

Kp1=Ec1(短距)/Ec1(整距)=sin[(Y1/τ)?90o] (18)

顯然對于整距線圈Kp1=1；對于短距線圈Kp1＜1，以上推導(dǎo)同樣適用于長距線圈，說明非整距線圈的電勢必須在整距線圈電勢基礎(chǔ)上打個折扣。

3 線圈組的基波合成電勢

若q個分布線圈串聯(lián)構(gòu)成一個線圈組(極相組)，則由于線圈分布，每個線圈的電勢并非同相位，而是相鄰兩個線圈電勢相差α電角度，因此這q個分布線圈串聯(lián)后的合成電勢并不是單個線圈電勢的q倍，而是必然在q倍的基礎(chǔ)上再打一個分布系數(shù)Kd1的折扣，如圖3所示，即：

Eq1=Ey1∠0o+Ey1∠α+Ey1∠2α+…+Ey1∠(q-1)α

=q?Kd1?Ec1(短距)=4.44q?Kd1?Kp1?W?f?Φ1

=4.44q?Kdp1?W?f?Φ1 =4.44?Kdp1?(qW)?f?Φ1 (19)

式中：

Kd1=[sin(q?α/2)]/[q?sin(α/2)](20)

其中：W為單個線圈的匝數(shù)；α為串聯(lián)線圈中兩個相鄰分布線圈電勢之間的相位差。

α=t?360o/Z1(21)

其中：t為單元電機(jī)個數(shù)；Z1為定子總槽數(shù)。對于整數(shù)槽繞組(t=p)，α即為槽距角，則將式(21)中的t用極對數(shù)p取代即可；對于分?jǐn)?shù)槽繞組，則α應(yīng)為串聯(lián)線圈組間的相位差，應(yīng)從槽電勢星型圖中求取，這里又分兩種情況：若q的分母d為奇數(shù)，則直接用式(21)計算α即可，即α為槽電勢星型圖中兩根相鄰相量間的相位差；若d為偶數(shù)，則α應(yīng)取式(21)計算出的α的一半，即按下式計算：

α=t?180o/Z1 (22)

詳見本系列文章之電機(jī)繞組(四)中的α′(對d為奇數(shù)的情況)或α′/2(對d為偶數(shù)的情況)。

Kdp1=Kd1?Kp1 (21)

稱為基波繞組系數(shù)，即短距系數(shù)與分布系數(shù)的乘積，相當(dāng)于短距分布繞組的感應(yīng)電勢應(yīng)該在整距集中線圈基礎(chǔ)上打一個短距系數(shù)折扣，再打一個分布系數(shù)折扣后的總折扣系數(shù)。

4 相繞組的基波電勢

如果多個線圈組通過串并聯(lián)組成一相繞組，那么該相繞組的感應(yīng)電勢取決于該相繞組的總串聯(lián)匝數(shù)W，相繞組的基波感應(yīng)電勢為：

EΦ1=4.44?f?Kdp1?W?Φ1 (22)

再次強(qiáng)調(diào)！式中的W為每相串聯(lián)匝數(shù)，即一條支路中所有線圈的總匝數(shù)。

5 三相繞組的基波感應(yīng)電勢

根據(jù)繞組的接法不同，計算三相繞組的線電勢。如果是Y接，則三相繞組的線電勢為相電勢的根號三倍；如果是Δ接，則三相繞組的線電勢與相電勢相等。

6 感應(yīng)電勢與磁鏈的相位關(guān)系

通常在畫電機(jī)的時空相量圖時，還需要搞明白感應(yīng)電勢和氣隙磁場間的相位關(guān)系。根據(jù)e=-W?dΦ/dt，可知e與Φ之間的相位關(guān)系是：感應(yīng)電勢e滯后繞組所匝鏈磁通Φ90o相位。需要說明的是，這里的Φ是指匝鏈繞組的磁通，它是隨時間呈正弦變化的物理量，即e和Φ都是時間的正弦函數(shù)，即隨著氣隙磁場的旋轉(zhuǎn)，匝鏈繞組的磁通也隨時間呈正弦變化，但在電機(jī)中，匝鏈繞組的磁通是一個幅值不變、大小隨空間呈正弦變化的旋轉(zhuǎn)磁場，在旋轉(zhuǎn)過程中引起的匝鏈繞組磁通隨時間呈正弦變化的，從這個角度看，Φ也可看著是一個空間矢量，隨著它旋轉(zhuǎn)，引起了繞組的匝鏈磁通隨時間變化，在電機(jī)的時空相量圖中，往往要把隨時間變化的時間相量和隨空間變化的空間矢量統(tǒng)一畫到一起。設(shè)在一開始(t=0時刻)旋轉(zhuǎn)磁場的中心與繞組的軸線對齊，如圖4a所示，則此時與繞組匝鏈的磁通Φ1最大，但由于此時繞組的兩條邊正好位于磁場為0的位置，因此，此時繞組的感應(yīng)電勢e=0，當(dāng)磁場旋轉(zhuǎn)過90o電角度時，即磁場中心線與繞組軸線成90o時，此時繞組匝鏈的磁通為0，但此時由于繞組的兩條邊正好位于磁密最大處，繞組的感應(yīng)電勢卻最大，如圖4b所示，由此可見當(dāng)繞組匝鏈的磁通為最大時，繞組的感應(yīng)電勢為0；而當(dāng)磁場旋轉(zhuǎn)過90o電角度(ωt=90o)時，繞組匝鏈的磁通為0，但繞組的感應(yīng)電勢卻達(dá)到最大，因此如果把Φ1看作繞組所匝鏈磁通，則Φ1即為時間相量，在時間上看，繞組感應(yīng)電勢在時間上滯后所匝鏈磁通90o；如果把Φ1看著旋轉(zhuǎn)磁場的最大磁通量，則Φ1即為空間矢量，那么從空間上看，繞組感應(yīng)電勢在空間上同樣滯后旋轉(zhuǎn)磁場90o的空間電角度。因此在畫電機(jī)時空相量圖時，無論把Φ1看著時間相量還是空間矢量，都可以把感應(yīng)電勢畫在滯后磁通90o的位置，如圖4c所示。

?

以上分析，僅是當(dāng)氣隙磁場呈正弦分布時繞組的感應(yīng)電勢，或者說是在任意氣隙磁場下繞組的基波感應(yīng)電勢，本文分析了基波感應(yīng)電勢的頻率、相位和大小，并重點(diǎn)分析了感應(yīng)電勢大小的計算方法。對于實際電機(jī)而言，氣隙磁場中除了基波磁場以外，往往還存在著許多諧波磁場，即氣隙磁場往往并不是嚴(yán)格呈正弦分布，這樣就會在繞組中產(chǎn)生一系列諧波電勢，關(guān)于繞組感應(yīng)電勢的諧波分析會更加復(fù)雜，如果您對李老師的文章還意猶未盡，歡迎5月27日-29日來無錫參加“電機(jī)NVH問題的機(jī)理及測試仿真”研修班，聽西莫首席技術(shù)專家通解電機(jī)NVH問題機(jī)理，教您如何更好地設(shè)計電機(jī)！