本文研究了奈奎斯特-香農(nóng)采樣定理的一個(gè)重要方面，并解釋了它與模數(shù)轉(zhuǎn)換中抗混疊濾波器需求的聯(lián)系。

到目前為止，我們已經(jīng)探討了奈奎斯特-香農(nóng)定理的理論基礎(chǔ)，包括頻域?qū)Σ蓸拥挠绊?。然后我們談到了這些基本原則如何應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活中的電路設(shè)計(jì)——具體來(lái)說(shuō)，解決了 現(xiàn)實(shí)生活中混合信號(hào)系統(tǒng)中過(guò)采樣的重要性。

在整個(gè)系列中，我使用的采樣定理版本指出，當(dāng)采樣率等于或大于原始信號(hào)中最高頻率的兩倍時(shí)，完美重建是可能的——不是感興趣的頻率，也不是主頻率，但頻率 最高 。

這個(gè)看似無(wú)害的小細(xì)節(jié)實(shí)際上在理論采樣和現(xiàn)實(shí)生活中的 A/D 轉(zhuǎn)換之間造成了重大裂痕。

您的信號(hào)的最高頻率是多少?

采樣定理的第一個(gè)問(wèn)題是您永遠(yuǎn)無(wú)法以最高頻率的兩倍進(jìn)行采樣：由于熱噪聲在太赫茲范圍內(nèi)具有恒定的功率譜密度，每個(gè)信號(hào)的帶寬都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)模擬信號(hào)的能力- 到數(shù)字轉(zhuǎn)換器。

當(dāng)然，我并不是說(shuō)所有信號(hào)在 1 THz 下都有一點(diǎn)噪聲，因此混合信號(hào)電子設(shè)備不存在。相反，我試圖戲劇性地證明不可能查看信號(hào)的傅里葉變換，繪制一條垂直線(xiàn)，并聲明該線(xiàn)右側(cè)的頻譜完全為空。

噪聲、干擾和自然現(xiàn)象的逐漸變化特征都會(huì)導(dǎo)致信號(hào)頻譜沒(méi)有容易識(shí)別的最高頻率。

高頻元件和混疊

為什么我們不能忽略那些麻煩的頻率分量呢?我們不打算將它們數(shù)字化，我們不需要分析或記錄它們——讓我們忘記它們并根據(jù)我們想要的頻率選擇采樣率吧!

我希望事情就這么簡(jiǎn)單，但我們必須記住，當(dāng)模擬輸入頻率超過(guò)采樣頻率的一半時(shí)會(huì)導(dǎo)致混疊——順便說(shuō)一下，這有時(shí)被稱(chēng)為折疊頻率，因?yàn)楦哂谠擃l率的分量會(huì)圍繞采樣頻率折疊從而與原始光譜重疊。我們不能簡(jiǎn)單地忽略折疊頻率以上的成分，因?yàn)樗鼈儠?huì)與感興趣的頻率混合，從而消除我們完美重建原始信號(hào)的能力。

考慮下圖：

假設(shè)頻譜的主要鐘形部分包含感興趣的頻率，逐漸向零衰減的低幅度尾部代表不重要的高頻分量。

該系統(tǒng)中選擇的采樣率足以捕獲感興趣的頻率，但我們不能忽略不重要的頻率，因?yàn)榛殳B會(huì)導(dǎo)致不重要的頻率延伸到我們想要準(zhǔn)確重建的頻譜部分并使其失真。

然而，這種忽略不重要頻率的想法實(shí)際上是我們?nèi)绾卧诠こ滔到y(tǒng)中處理這個(gè)問(wèn)題的基礎(chǔ)。歸根結(jié)底，我們必須忽略不需要的高頻，因?yàn)槲覀儫o(wú)法完全消除它們。但在我們忽略它們之前，我們至少應(yīng)該做出一些努力來(lái)減輕它們對(duì)系統(tǒng)性能的有害影響。

這就是抗混疊濾波器發(fā)揮作用的地方。

采樣前過(guò)濾

香農(nóng)采樣定理指定了相對(duì)于信號(hào)最高頻率的最小可接受采樣率。另一種說(shuō)法是，香農(nóng)給了我們帶限信號(hào)的采樣率要求，即傅立葉變換具有可識(shí)別上限的信號(hào)。

我們?cè)谖锢黼娐分邪l(fā)現(xiàn)的信號(hào)并不是真正的帶限信號(hào)，但我們無(wú)論如何都要對(duì)它們進(jìn)行采樣，因此，我們將嘗試使它們成為帶限信號(hào)。這就是抗混疊濾波器的目的。

通過(guò)在采樣前讓信號(hào)通過(guò)低通濾波器，我們可以衰減指定頻率以上的頻譜內(nèi)容，從而創(chuàng)建頻率上限。

信號(hào)不會(huì)完全受限，因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)生活中的濾波器不會(huì)在截止頻率以上產(chǎn)生無(wú)限衰減。然而，它可以足夠接近帶寬限制：混疊會(huì)發(fā)生，但它對(duì)整體系統(tǒng)性能的影響可以忽略不計(jì)。

我們?nèi)绾芜x擇截止頻率?

這將取決于各種因素。一般的想法是保留頻譜的重要部分并抑制不重要的部分。然后，您可以根據(jù)希望將混疊到感興趣的頻譜中的頻率分量衰減多少來(lái)選擇 ADC 采樣率。

假設(shè)您正在為抗混疊濾波器使用一階RC 低通濾波器，截止頻率為 20 kHz。頻率響應(yīng)如下所示：

如果您以 100 kHz 采樣，則折疊頻率為 50 kHz：高于 50 kHz 的所有頻率都會(huì)導(dǎo)致混疊誤差。因此，使用這個(gè)濾波器，“混疊帶”將有 9 dB 的最小衰減。

夠了嗎?

這個(gè)問(wèn)題沒(méi)有簡(jiǎn)單的答案，無(wú)論如何，答案取決于系統(tǒng)要求。

盡管如此，我的工程直覺(jué)告訴我，我們應(yīng)該努力將混疊帶的幅度降低至少一個(gè)數(shù)量級(jí)。這個(gè)一階 RC 濾波器在 200 kHz 時(shí)為我們提供 20 dB 的衰減，因此我們需要以 400 kHz 進(jìn)行采樣。在我喜歡使用的 ADC 的背景下，這是一個(gè)相當(dāng)高的采樣率——即那些可以方便地集成到微控制器中的 ADC 。因此，我可能不得不放寬衰減要求，或者我可以考慮為抗混疊濾波器使用二階拓?fù)洹?/p>

結(jié)論

顧名思義，抗混疊濾波器可減少我們對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣時(shí)發(fā)生的混疊量。他們通過(guò)抑制折疊頻率以上的頻譜內(nèi)容來(lái)做到這一點(diǎn)，從而使現(xiàn)實(shí)生活中的信號(hào)與香農(nóng)采樣定理適用的帶限信號(hào)更加一致。

雖然您可以通過(guò)提高采樣率來(lái)降低抗混疊濾波器的重要性，但我認(rèn)為在您的 ADC 電路中始終至少包含一個(gè)基本 RC 濾波器是一種很好的做法。

審核編輯：湯梓紅