隨著網(wǎng)格尺寸的增加，雅可比、高斯-賽德爾或 ILU（不完全 LU）等傳統(tǒng)迭代求解算法的收斂速度明顯降低。 反過來，收斂緩慢會(huì)導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間呈二次性增加。為加速求解器收斂，采用代數(shù)多重網(wǎng)格 (AMG) 法。多重網(wǎng)格法的概念基于以下事實(shí)：迭代求解算法可有效減少其波長對應(yīng)于網(wǎng)格單元尺寸（高頻誤差）的數(shù)值誤差分量。 但對于此類方法，長波長（低頻）誤差的降幅相當(dāng)緩慢。

在連續(xù)粗糙化的線性系統(tǒng)的層次結(jié)構(gòu)上，多重網(wǎng)格法通過迭代過程減少低頻誤差。代數(shù)多重網(wǎng)格衍生粗糙層方程組，而不參考基礎(chǔ)網(wǎng)格幾何。粗糙網(wǎng)格方程從精細(xì)網(wǎng)格系數(shù)的算術(shù)組合衍生得出。幾次迭代之后，多重網(wǎng)格算法將計(jì)算從精細(xì)線性系統(tǒng)傳遞到粗糙線性系統(tǒng)。 這些迭代也稱為平滑迭代，因?yàn)檎`差函數(shù)稍后將會(huì)平滑（即不含誤差的高頻分量）。

由于求解過程傳遞到更粗糙的線性系統(tǒng)，因此誤差現(xiàn)在相對網(wǎng)格單元尺寸而言頻率增高并可有效減少。 在更粗糙的線性系統(tǒng)上，為減少精細(xì)線性系統(tǒng)求解的誤差，定義了缺陷方程。多重網(wǎng)格算法采用以下步驟：

1. 聚結(jié)網(wǎng)格單元，形成粗糙網(wǎng)格級別。
2. 將殘差從精細(xì)級別傳遞到更粗糙的級別（稱為限制）。
3. 將校正從粗糙級別傳遞回更精細(xì)的級別（稱為延長）。

• 多重網(wǎng)格循環(huán)

  多重網(wǎng)格方法支持通過在粗糙網(wǎng)格序列上使用簡單校正掃掠，顯著加速高斯-賽德爾等基本迭代格式的運(yùn)行。粗糙級別訪問策略可能會(huì)對該算法的效率產(chǎn)生很大的影響。AMG中有兩個(gè)循環(huán)策略，即固定和可變：

• 固定循環(huán)

完整的多重網(wǎng)格循環(huán)表示遞歸應(yīng)用由以下步驟組成的單一循環(huán)：

1. a) （預(yù)）平滑；
2. b) 限制；
3. c) 再循環(huán)；
4. d) 延長；
5. e) （后）平滑。

這些步驟將應(yīng)用于一系列連續(xù)粗糙化的網(wǎng)格或方程組。平滑表示將任意數(shù)量的迭代松弛掃掠應(yīng)用于當(dāng)前精細(xì)級別上的方程，計(jì)算一組新校正。限制是指將現(xiàn)有殘差向下傳遞到應(yīng)用了新循環(huán)的下一個(gè)最粗糙級別。隨后，結(jié)果校正將延長，即傳遞回同樣應(yīng)用了平滑的當(dāng)前精細(xì)級別。有以下三種類型的固定循環(huán)：

• F 固定循環(huán)
• V 固定循環(huán)
• W 固定循環(huán)
• 可變循環(huán)
  對于非剛性線性系統(tǒng)，此類循環(huán)是一種更經(jīng)濟(jì)的循環(huán)策略。每次在給定網(wǎng)格級別上掃掠后都會(huì)監(jiān)視殘差，而非按規(guī)則模式使用所有多重網(wǎng)格級別。如果殘差減少率超出給定閾值，會(huì)繼續(xù)在更粗糙的級別上求解。如果給定級別上的殘差降幅超過指定閾值，則求解將轉(zhuǎn)到更精細(xì)的級別。任何級別允許的掃掠數(shù)將進(jìn)一步受到限制。

V 循環(huán)

V 循環(huán)是最簡單的固定循環(huán)類型，只有兩個(gè)分支。 在第一個(gè)分支中，用戶對最精細(xì)的級別執(zhí)行大量松弛掃掠并將殘差傳遞到下一個(gè)級別。 然后，對粗糙級別相繼重復(fù)該操作，直至達(dá)到最粗糙的級別為止。粗糙“網(wǎng)格”通常僅包含幾個(gè)“網(wǎng)格單元”。在最粗糙的級別上完成掃掠之后，使用得到的解校正下一個(gè)更精細(xì)級別上的求解。先在該級別執(zhí)行一些松弛掃掠，然后重復(fù)此過程，直至達(dá)到最精細(xì)的級別為止，圖 顯示了此過程。

W 循環(huán)

對于剛性方程組，V 循環(huán)有時(shí)不能滿足需要，進(jìn)行更多粗糙迭代非常有用。W循環(huán)會(huì)增加粗糙松弛掃掠數(shù)，如圖 所示。

F 循環(huán)

F循環(huán)是W循環(huán)的一種變體，此循環(huán)如圖示，涉及的粗糙級別掃掠數(shù)少于W循環(huán)，但仍多于 V 循環(huán)。