IIR濾波器（Infinite Impulse Response Filter）是一種數(shù)字濾波器，具有無限沖激響應特性。相對于FIR（有限沖激響應）濾波器，IIR濾波器具有更高的靈活性和更小的計算復雜度。本文將介紹IIR濾波器的原理、特點以及常見的設(shè)計方法。

一、IIR濾波器原理

IIR濾波器的原理基于差分方程，其中當前輸出值取決于當前輸入值和過去輸出值的線性組合。這種遞歸結(jié)構(gòu)導致IIR濾波器具有無限的沖激響應，因此可以對輸入信號進行更復雜的頻率響應調(diào)整。

IIR濾波器的差分方程一般形式如下：

y[n] = b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + ... + bm * x[n-m] - a1 * y[n-1] - ... - an * y[n-n]

其中， x[n] 是當前輸入信號值， y[n] 是當前輸出信號值，b0, b1, ..., bm是輸入系數(shù)，a1, ..., an是輸出系數(shù)，m和n分別表示濾波器的輸入和輸出階數(shù)。

IIR濾波器可以分為兩類：無零點IIR濾波器和有零點IIR濾波器。無零點IIR濾波器的輸出僅由過去的輸出值和當前輸入值決定，而有零點IIR濾波器的輸出還受到過去的輸入值的影響。

二、IIR濾波器特點

IIR濾波器具有以下特點：

遞歸結(jié)構(gòu) ：IIR濾波器通過反饋將輸出連接到輸入，形成遞歸結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)可以實現(xiàn)更高階的濾波器，使得在相同濾波器階數(shù)的情況下，與FIR濾波器相比，IIR濾波器具有更小的延遲和更高的頻率選擇能力。

寬帶特性 ：相對于FIR濾波器，IIR濾波器可以實現(xiàn)更寬的帶通和帶阻特性，可以更好地適應頻率選擇要求。

計算效率 ：IIR濾波器通常比FIR濾波器具有更高的計算效率，因為它們不需要存儲大量的前期樣本，而是通過遞歸運算實現(xiàn)濾波過程。

頻率選擇 ：IIR濾波器可以實現(xiàn)更復雜的頻率選擇，例如橢圓濾波器和Chebyshev濾波器等，這些濾波器在某些應用中具有更好的頻率響應特性。

時域響應 ：IIR濾波器的時域響應通常具有較長的尾部，這意味著它們對輸入信號的變化有較慢的響應。這可以在一些應用中產(chǎn)生特殊的效果，如音頻音效處理和混響效果。

穩(wěn)定性 ：IIR濾波器的穩(wěn)定性與極點的位置有關(guān)。為了確保濾波器的穩(wěn)定性，極點必須位于單位圓內(nèi)的穩(wěn)定區(qū)域。因此，在IIR濾波器設(shè)計中，需要采取措施來控制極點的位置，以確保濾波器的穩(wěn)定性。

三、IIR濾波器種類和設(shè)計

經(jīng)典的IIR濾波器類型，包括Butterworth濾波器、Chebyshev I類和II類濾波器、橢圓濾波器和Bessel濾波器，都是為了逼近理想的矩形濾波器而設(shè)計的。

理想的矩形濾波器是在頻率域中具有矩形形狀的濾波器，它可以完全通過在通帶內(nèi)傳遞所需的頻率分量，同時在阻帶內(nèi)完全抑制不需要的頻率分量。然而，實際上很難實現(xiàn)理想的矩形濾波器，因為它要求在頻率域中產(chǎn)生無限寬的截止帶和無限陡的過渡帶。

經(jīng)典的IIR濾波器類型采用不同的設(shè)計策略來逼近理想的矩形濾波器：

（1）Butterworth濾波器：通過在通帶和阻帶之間均勻分布的幅度衰減來逼近理想矩形濾波器的幅頻響應特性。它在通帶內(nèi)具有平坦的幅度響應，但在阻帶中的衰減率相對較低。

（2）Chebyshev I類和II類濾波器：通過引入波紋來實現(xiàn)更陡峭的過渡帶和更高的阻帶衰減，從而更接近理想的矩形濾波器。Chebyshev I類濾波器在通帶內(nèi)具有最小的波紋，而Chebyshev II類濾波器在阻帶內(nèi)具有最小的波紋。

（3）橢圓濾波器：使用Cauer函數(shù)來設(shè)計，通過在通帶和阻帶內(nèi)都具有波紋來實現(xiàn)更 steepend 的過渡帶和更高的阻帶衰減。橢圓濾波器在通帶和阻帶內(nèi)都能夠?qū)崿F(xiàn)較小的幅度波紋。

（4）Bessel濾波器：通過在頻率域中具有線性相位特性來逼近理想的矩形濾波器的相位響應。它對信號的相位不會引入額外的失真，但在幅度響應方面具有相對平滑的特性。

每種IIR濾波器類型都有其特定的設(shè)計方法和特點，適用于不同的應用場景和設(shè)計要求。選擇適當?shù)腎IR濾波器類型取決于所需的頻率響應特性、相位特性和設(shè)計復雜度。

3.1 Butterworth濾波器 ：

原理：Butterworth濾波器是一種最常見的IIR濾波器，其設(shè)計目標是在通帶內(nèi)具有盡可能平坦的幅度響應，同時保持最小的相位失真。它的特點是具有光滑的頻率響應曲線，沒有幅度波紋。

設(shè)計：Butterworth濾波器的設(shè)計通過控制濾波器的階數(shù)和截止頻率來實現(xiàn)。階數(shù)越高，濾波器的頻率選擇能力越強。

import numpy as np
from scipy.signal import butter, filtfilt
import matplotlib.pyplot as plt


# 生成示例數(shù)據(jù)
fs = 1000  # 采樣頻率
t = np.arange(0, 1, 1/fs)  # 時間序列
x = np.sin(2 * np.pi * 5 * t) + np.sin(2 * np.pi * 50 * t) + np.random.randn(len(t)) * 0.2  # 混合信號


# 定義Butterworth濾波器函數(shù)
def butterworth_filter(data, cutoff_freq, filter_type, order, fs):
    nyquist_freq = 0.5 * fs
    cutoff = cutoff_freq / nyquist_freq


    # 設(shè)計Butterworth濾波器系數(shù)
    b, a = butter(order, cutoff, btype=filter_type, analog=False, output='ba')


    # 將濾波器應用于數(shù)據(jù)
    filtered_data = filtfilt(b, a, data)


    return filtered_data


# 設(shè)計并應用低通濾波器
cutoff_freq = 30  # 截止頻率
order = 4  # 階數(shù)
filter_type = 'lowpass'  # 濾波器類型


lowpass_data = butterworth_filter(x, cutoff_freq, filter_type, order, fs)


# 設(shè)計并應用帶通濾波器
cutoff_freqs = [20, 80]  # 截止頻率范圍
order = 4  # 階數(shù)
filter_type = 'bandpass'  # 濾波器類型


bandpass_data = butterworth_filter(x, cutoff_freqs, filter_type, order, fs)


# 設(shè)計并應用高通濾波器
cutoff_freq = 50  # 截止頻率
order = 4  # 階數(shù)
filter_type = 'highpass'  # 濾波器類型


highpass_data = butterworth_filter(x, cutoff_freq, filter_type, order, fs)


# 設(shè)計并應用帶阻濾波器
cutoff_freqs = [40, 60]  # 截止頻率范圍
order = 4  # 階數(shù)
filter_type = 'bandstop'  # 濾波器類型


bandstop_data = butterworth_filter(x, cutoff_freqs, filter_type, order, fs)


# 繪制原始信號和濾波后的信號
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.subplot(5, 1, 1)
plt.plot(t, x)
plt.title('Original Signal')


plt.subplot(5, 1, 2)
plt.plot(t, lowpass_data)
plt.title('Lowpass Filtered Signal')


plt.subplot(5, 1, 3)
plt.plot(t, bandpass_data)
plt.title('Bandpass Filtered Signal')


plt.subplot(5, 1, 4)
plt.plot(t, highpass_data)
plt.title('Highpass Filtered Signal')


plt.subplot(5, 1, 5)
plt.plot(t, bandstop_data)
plt.title('Bandstop Filtered Signal')
plt.tight_layout()
plt.show()

上述代碼中，我們首先生成了一個示例數(shù)據(jù) x，然后定義了一個名為 butterworth_filter 的函數(shù)，用于設(shè)計和應用 Butterworth 濾波器。接下來，我們分別使用不同的截止頻率和濾波器類型調(diào)用該函數(shù)來實現(xiàn)低通、帶通、高通和帶阻濾波。最后，我們使用 Matplotlib 庫繪制了原始信號和濾波后的信號。 請注意，以上示例僅用于演示如何使用 Butterworth 濾波器進行低通、帶通、高通和帶阻濾波，實際應用中需要根據(jù)具體需求調(diào)整截止頻率、階數(shù)和濾波器類型等參數(shù)。

3.2 Chebyshev濾波器 ：

原理：Chebyshev濾波器是一種具有優(yōu)良頻率選擇特性的IIR濾波器。它可以分為兩種類型：Chebyshev Type I和Chebyshev Type II。Chebyshev Type I濾波器在通帶內(nèi)具有最小的幅度波紋，而Chebyshev Type II濾波器在阻帶內(nèi)具有最小的幅度波紋。

設(shè)計：Chebyshev濾波器的設(shè)計需要指定濾波器的階數(shù)、截止頻率和幅度波紋。幅度波紋越小，阻帶衰減越大，濾波器的設(shè)計復雜度也相應增加。

import numpy as np
from scipy.signal import cheby1, cheby2, filtfilt
import matplotlib.pyplot as plt


# 生成示例數(shù)據(jù)
fs = 1000  # 采樣頻率
t = np.arange(0, 1, 1/fs)  # 時間序列
x = np.sin(2 * np.pi * 5 * t) + np.sin(2 * np.pi * 50 * t) + np.random.randn(len(t)) * 0.2  # 混合信號


# 定義Chebyshev濾波器函數(shù)
def chebyshev_filter(data, cutoff_freq, filter_type, order, rs, fs):
    nyquist_freq = 0.5 * fs
    cutoff = cutoff_freq / nyquist_freq


    if filter_type == 'lowpass':
        b, a = cheby1(order, rs, cutoff, btype='low', analog=False, output='ba')
    elif filter_type == 'highpass':
        b, a = cheby1(order, rs, cutoff, btype='high', analog=False, output='ba')
    elif filter_type == 'bandpass':
        b, a = cheby2(order, rs, cutoff, btype='bandpass', analog=False, output='ba')
    elif filter_type == 'bandstop':
        b, a = cheby2(order, rs, cutoff, btype='bandstop', analog=False, output='ba')
    else:
        raise ValueError('Invalid filter type')


    filtered_data = filtfilt(b, a, data)


    return filtered_data


# 設(shè)計并應用低通濾波器
cutoff_freq = 30  # 截止頻率
order = 4  # 階數(shù)
rs = 60  # 阻帶衰減（單位：dB）


lowpass_data = chebyshev_filter(x, cutoff_freq, 'lowpass', order, rs, fs)


# 設(shè)計并應用帶通濾波器
cutoff_freqs = [20, 80]  # 截止頻率范圍
order = 4  # 階數(shù)
rs = 60  # 阻帶衰減（單位：dB）


bandpass_data = chebyshev_filter(x, cutoff_freqs, 'bandpass', order, rs, fs)


# 設(shè)計并應用高通濾波器
cutoff_freq = 50  # 截止頻率
order = 4  # 階數(shù)
rs = 60  # 阻帶衰減（單位：dB）


highpass_data = chebyshev_filter(x, cutoff_freq, 'highpass', order, rs, fs)


# 設(shè)計并應用帶阻濾波器
cutoff_freqs = [40, 60]  # 截止頻率范圍
order = 4  # 階數(shù)
rs = 60  # 阻帶衰減（單位：dB）


bandstop_data = chebyshev_filter(x, cutoff_freqs, 'bandstop', order, rs, fs)


# 繪制原始信號和濾波后的信號
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.subplot(5, 1, 1)
plt.plot(t, x)
plt.title('Original Signal')


plt.subplot(5, 1, 2)
plt.plot(t, lowpass_data)
plt.title('Lowpass Filtered Signal')


plt.subplot(5, 1, 3)
plt.plot(t, bandpass_data)
plt.title('Bandpass Filtered Signal')


plt.subplot(5, 1, 4)
plt.plot(t, highpass_data)
plt.title('Highpass Filtered Signal')


plt.subplot(5, 1, 5)
plt.plot(t, bandstop_data)
plt.title('Bandstop Filtered Signal')


plt.tight_layout()
plt.show()

在上述代碼中，我們首先生成了一個示例數(shù)據(jù) x，然后定義了一個名為 chebyshev_filter 的函數(shù)，用于設(shè)計和應用Chebyshev濾波器。根據(jù)濾波器類型，我們使用 cheby1 或 cheby2 函數(shù)來設(shè)計Chebyshev I類或II類濾波器系數(shù)。接下來，我們分別使用不同的截止頻率、階數(shù)和阻帶衰減調(diào)用該函數(shù)來實現(xiàn)低通、帶通、高通和帶阻濾波。最后，我們使用Matplotlib庫繪制了原始信號和濾波后的信號。

3.3 橢圓濾波器 ：

原理：橢圓濾波器是一種具有最 steepend 的衰減率和最小幅度波紋的IIR濾波器。它在通帶和阻帶內(nèi)都具有較小的幅度波紋，但在過渡帶中會有較寬的波紋。

設(shè)計：橢圓濾波器的設(shè)計需要指定濾波器的階數(shù)、截止頻率、幅度波紋和過渡帶寬度。橢圓濾波器的設(shè)計較復雜，需要進行頻域優(yōu)化，以實現(xiàn)所需的頻率響應。

import numpy as np
from scipy.signal import ellip, filtfilt
import matplotlib.pyplot as plt


# 生成示例數(shù)據(jù)
fs = 1000  # 采樣頻率
t = np.arange(0, 1, 1/fs)  # 時間序列
x = np.sin(2 * np.pi * 5 * t) + np.sin(2 * np.pi * 50 * t) + np.random.randn(len(t)) * 0.2  # 混合信號


# 定義橢圓濾波器函數(shù)
def ellip_filter(data, cutoff_freq, filter_type, order, rs, rp, fs):
    nyquist_freq = 0.5 * fs
    cutoff = cutoff_freq / nyquist_freq


    if filter_type == 'lowpass':
        b, a = ellip(order, rp, rs, cutoff, btype='low', analog=False, output='ba')
    elif filter_type == 'highpass':
        b, a = ellip(order, rp, rs, cutoff, btype='high', analog=False, output='ba')
    elif filter_type == 'bandpass':
        lower_cutoff = cutoff[0]
        upper_cutoff = cutoff[1]
        b, a = ellip(order, rp, rs, [lower_cutoff, upper_cutoff], btype='bandpass', analog=False, output='ba')
    elif filter_type == 'bandstop':
        lower_cutoff = cutoff[0]
        upper_cutoff = cutoff[1]
        b, a = ellip(order, rp, rs, [lower_cutoff, upper_cutoff], btype='bandstop', analog=False, output='ba')
    else:
        raise ValueError('Invalid filter type')


    filtered_data = filtfilt(b, a, data)


    return filtered_data


# 設(shè)計并應用低通濾波器
cutoff_freq = 30  # 截止頻率
order = 4  # 階數(shù)
rs = 60  # 阻帶衰減（單位：dB）
rp = 1  # 通帶最大衰減（單位：dB）


lowpass_data = ellip_filter(x, cutoff_freq, 'lowpass', order, rs, rp, fs)


# 設(shè)計并應用帶通濾波器
cutoff_freqs = [20, 80]  # 截止頻率范圍
order = 4  # 階數(shù)
rs = 60  # 阻帶衰減（單位：dB）
rp = 1  # 通帶最大衰減（單位：dB）


bandpass_data = ellip_filter(x, cutoff_freqs, 'bandpass', order, rs, rp, fs)


# 設(shè)計并應用高通濾波器
cutoff_freq = 50  # 截止頻率
order = 4  # 階數(shù)
rs = 60  # 阻帶衰減（單位：dB）
rp = 1  # 通帶最大衰減（單位：dB）


highpass_data = ellip_filter(x, cutoff_freq, 'highpass', order, rs, rp, fs)


# 設(shè)計并應用
# 設(shè)計并應用帶阻濾波器
cutoff_freqs = [40, 60]  # 截止頻率范圍
order = 4  # 階數(shù)
rs = 60  # 阻帶衰減（單位：dB）
rp = 1  # 通帶最大衰減（單位：dB）


bandstop_data = ellip_filter(x, cutoff_freqs, 'bandstop', order, rs, rp, fs)


# 繪制原始信號和濾波后的信號
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.subplot(5, 1, 1)
plt.plot(t, x)
plt.title('Original Signal')


plt.subplot(5, 1, 2)
plt.plot(t, lowpass_data)
plt.title('Lowpass Filtered Signal')


plt.subplot(5, 1, 3)
plt.plot(t, bandpass_data)
plt.title('Bandpass Filtered Signal')


plt.subplot(5, 1, 4)
plt.plot(t, highpass_data)
plt.title('Highpass Filtered Signal')


plt.subplot(5, 1, 5)
plt.plot(t, bandstop_data)
plt.title('Bandstop Filtered Signal')


plt.tight_layout()
plt.show()

在上述代碼中，我們首先生成了一個示例數(shù)據(jù) x，然后定義了一個名為 ellip_filter 的函數(shù)，用于設(shè)計和應用橢圓濾波器。根據(jù)濾波器類型，我們使用 ellip 函數(shù)來設(shè)計橢圓濾波器系數(shù)。接下來，我們分別使用不同的截止頻率、階數(shù)、阻帶衰減和通帶最大衰減調(diào)用該函數(shù)來實現(xiàn)低通、帶通、高通和帶阻濾波。最后，我們使用Matplotlib庫繪制了原始信號和濾波后的信號。

3.4 Bessel濾波器 ：

原理：Bessel濾波器是一種具有線性相位特性的IIR濾波器。它具有平滑的幅度響應和最小的相位失真，能夠保持信號的波形形狀。Bessel濾波器對于保持信號的相位一致是非常有效的選擇。

設(shè)計：Bessel濾波器的設(shè)計相對簡單，主要需要指定濾波器的階數(shù)和截止頻率。

import numpy as np
from scipy.signal import bessel, filtfilt
import matplotlib.pyplot as plt


# 生成示例數(shù)據(jù)
fs = 1000  # 采樣頻率
t = np.arange(0, 1, 1/fs)  # 時間序列
x = np.sin(2 * np.pi * 5 * t) + np.sin(2 * np.pi * 50 * t) + np.random.randn(len(t)) * 0.2  # 混合信號


# 定義Bessel濾波器函數(shù)
def bessel_filter(data, cutoff_freq, filter_type, order, fs):
    nyquist_freq = 0.5 * fs
    cutoff = cutoff_freq / nyquist_freq


    if filter_type == 'lowpass':
        b, a = bessel(order, cutoff, btype='low', analog=False, output='ba')
    elif filter_type == 'highpass':
        b, a = bessel(order, cutoff, btype='high', analog=False, output='ba')
    elif filter_type == 'bandpass':
        lower_cutoff = cutoff[0]
        upper_cutoff = cutoff[1]
        b, a = bessel(order, [lower_cutoff, upper_cutoff], btype='bandpass', analog=False, output='ba')
    elif filter_type == 'bandstop':
        lower_cutoff = cutoff[0]
        upper_cutoff = cutoff[1]
        b, a = bessel(order, [lower_cutoff, upper_cutoff], btype='bandstop', analog=False, output='ba')
    else:
        raise ValueError('Invalid filter type')


    filtered_data = filtfilt(b, a, data)


    return filtered_data


# 設(shè)計并應用低通濾波器
cutoff_freq = 30  # 截止頻率
order = 4  # 階數(shù)


lowpass_data = bessel_filter(x, cutoff_freq, 'lowpass', order, fs)


# 設(shè)計并應用帶通濾波器
cutoff_freqs = [20, 80]  # 截止頻率范圍
order = 4  # 階數(shù)


bandpass_data = bessel_filter(x, cutoff_freqs, 'bandpass', order, fs)


# 設(shè)計并應用高通濾波器
cutoff_freq = 50  # 截止頻率
order = 4  # 階數(shù)


highpass_data = bessel_filter(x, cutoff_freq, 'highpass', order, fs)


# 設(shè)計并應用帶阻濾波器
cutoff_freqs = [40, 60]  # 截止頻率范圍
order = 4  # 階數(shù)


bandstop_data = bessel_filter(x, cutoff_freqs, 'bandstop', order, fs)


# 繪制原始信號和濾波后的信號
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.subplot(5, 1, 1)
plt.plot(t, x)
plt.title('Original Signal')


plt.subplot(5, 1, 2)
plt.plot(t, lowpass_data)
plt.title('Lowpass Filtered Signal')


plt.subplot(5, 1, 3)
plt.plot(t, bandpass_data)
plt.title('Bandpass Filtered Signal')


plt.subplot(5, 1, 4)
plt.plot(t, highpass_data)
plt.title('Highpass Filtered Signal')


plt.subplot(5, 1, 5)
plt.plot(t, bandstop_data)
plt.title('Bandstop Filtered Signal')


plt.tight_layout()
plt.show()

在上述代碼中，我們首先生成了一個示例數(shù)據(jù) x，然后定義了一個名為 bessel_filter 的函數(shù)，用于設(shè)計和應用Bessel濾波器。根據(jù)濾波器類型，我們使用 bessel 函數(shù)來設(shè)計Bessel濾波器系數(shù)。接下來，我們分別使用不同的截止頻率、階數(shù)調(diào)用該函數(shù)來實現(xiàn)低通、帶通、高通和帶阻濾波。最后，我們使用Matplotlib庫繪制了原始信號和濾波后的信號。

選擇適當?shù)腎IR濾波器類型取決于應用需求。例如，如果需要平滑的頻率響應和線性相位特性，則Bessel濾波器是一個不錯的選擇。如果需要在通帶或阻帶內(nèi)具有更小的幅度波紋，則可以考慮Chebyshev濾波器。而如果需要最大的衰減率和最小的幅度波紋，則橢圓濾波器可能是更合適的選擇。