• 多項(xiàng)式及函數(shù)

1.多項(xiàng)式的表示

MATLAB用一維向量來(lái)表示多項(xiàng)式，如多項(xiàng)式

表示為,缺少的冪次系數(shù)用‘0’補(bǔ)充

2.多項(xiàng)式求根

求多項(xiàng)式的根即求使多項(xiàng)式為0的值，也即數(shù)學(xué)中的零點(diǎn)問(wèn)題，MATLAB提供了 roots函數(shù)求根 ，用法如下：

>> P=[1 2 1];%x^2+2x+1=0
 >> roots(P)
ans =
    -1
    -1

根據(jù)多項(xiàng)式的根反求多項(xiàng)式則用 poly函數(shù) ,一般多項(xiàng)式是行向量，根是列向量，例如：

> > r=[-1;-1];
 > > poly(r)
ans =
     1     2     1

3.多項(xiàng)式四則運(yùn)算

加法：如果兩個(gè)多項(xiàng)式大小相同時(shí)，則多項(xiàng)式相加與標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)組加法相同

乘法：使用conv函數(shù)

除法：使用 deconv函數(shù) ，[a,r]=deconv(b,c)其中a為b除c的商，r為余數(shù)

>> a=[1 1];b=[1 -1];%(x+1)*(x-1)
 >> c=conv(a,b)
c =
     1     0    -1
 >> a=[1 3 1];b=[1 1];%x^2+3x+1除x+1
 >> [c,d]=deconv(a,b)
c =
     1     2
d =
     0     0    -1

4.多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)、積分及其計(jì)算

導(dǎo)數(shù)：函數(shù)polyder可以實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)式的求導(dǎo)

積分：函數(shù) polyint(P,k) 返回多項(xiàng)式P的積分,積分常數(shù)項(xiàng)為k，默認(rèn)值為0

計(jì)算：函數(shù) polyval(P,x) 返回多項(xiàng)式在x處的值，x可為標(biāo)量也可為向量

>> a=[1 2 1];polyder(a)
ans =
     2     2
 >> a=[1 2 1];b=polyder(a)
b =
     2     2
 >> polyint(b,3)
ans =
     1     2     3
 >> polyval(a,1)
ans =
     4

5.有理多項(xiàng)式

函數(shù) [r,p,k]=residue(num,den) 可執(zhí)行部分分式展開(kāi)的的運(yùn)算，等式兩邊互換可實(shí)現(xiàn)逆運(yùn)算

> > num=[2 -19 29 40];
 > > den=[1 -15 68 -96];
 > > [r p k]=residue(num,den)
r =
    4.0000
    5.0000
    2.0000
p =
    8.0000
    4.0000
    3.0000
k =
     2

本例結(jié)果可表示為：

• 數(shù)據(jù)插值

數(shù)據(jù)插值是指數(shù)據(jù)缺失時(shí)所進(jìn)行的一種處理，在數(shù)據(jù)分析、圖像處理等很多領(lǐng)域經(jīng)常用到，參加過(guò)數(shù)學(xué)建模比賽的小伙伴可能也用過(guò)，有多項(xiàng)式插值、分段插值、三角函數(shù)插值等。

1. 一維函數(shù)插值

當(dāng)插值函數(shù)y=f(x)一元函數(shù)時(shí)為一維插值，使用interp1函數(shù)，語(yǔ)法格式為 **Vq=interp1(X,V,Xq,str)** :X為自變量取值范圍，V為函數(shù)值或一向量，長(zhǎng)度與X一致，Xq為插值點(diǎn)向量，str為字符串變量，設(shè)定插值方法。

str='nearest'： 鄰近點(diǎn)插值 。插值點(diǎn)的值為與該插值點(diǎn)最近的數(shù)據(jù)點(diǎn)函數(shù)值。速度快但平滑性差。

str='linear'： 線性插值法 。根據(jù)相鄰數(shù)據(jù)點(diǎn)的線性函數(shù)估計(jì)插值點(diǎn)的值。占用的 內(nèi)存比鄰近點(diǎn)多，運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng) ，但其結(jié)果是連續(xù)的，頂點(diǎn)處斜率會(huì)改變。

str='spline'： 三次樣條插值 。在相鄰數(shù)據(jù)點(diǎn)建立三次多項(xiàng)式函數(shù)確定插值。運(yùn)算時(shí)間最長(zhǎng)，但平滑性最好。此外還有'pchip'，'cubic'，'v5cubic'等。

y=interpft(x,n) 為一維快速傅里葉插值。當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)呈現(xiàn)周期分布時(shí)，用傅里葉變換把輸入數(shù)據(jù)x變換到頻域，然后用更多點(diǎn)n的傅里葉逆變換變回時(shí)域，其結(jié)果是對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行增采樣。

x=0:10;
y=sin(x);
z=interpft(y,20);
xx=linspace(0,10,20);%生成0到10之間20個(gè)線性等分點(diǎn)
plot(x,y,'-o',xx,z,':o')
legend('原始數(shù)據(jù)','插值結(jié)果','Location','North')

2.二維數(shù)據(jù)插值

當(dāng)插值函數(shù)y=f(x)為二元函數(shù)時(shí)為二維插值，語(yǔ)法格式為 **Vq=interp2(X,Y,V,Xq,Yq,str)** 其中X,Y,V是具有相同大小的矩陣，V(i,j)是數(shù)據(jù)點(diǎn)[X(i,j),Y(i,j)]上的函數(shù)值；Xq,Yq為待插值數(shù)據(jù)網(wǎng)格，str為字符串變量表示不同的插值方法，和一維的相似，例如

[X,Y]=meshgrid(-10:0.25:10);%產(chǎn)生數(shù)據(jù)柵格點(diǎn)
Z=peaks(X,Y);  %計(jì)算已知點(diǎn)的函數(shù)值
[x,y]=meshgrid(-10:0.05:10); %產(chǎn)生更精密的插值點(diǎn)
z=interp2(X,Y,Z,x,y);
mesh(X,Y,Z),hold on;
mesh(x,y,z+20),hold off;
axis([-3 3 -3.5 3.5 -6 30])

• 函數(shù)極限

極限概念很簡(jiǎn)單，在中學(xué)時(shí)就有所接觸，這里只簡(jiǎn)單介紹一些使用極限的函數(shù)

limit(fun,x,a) ：當(dāng)x趨于a時(shí)，返回函數(shù)fun的極限值。

limit(fun)：默認(rèn)當(dāng)x趨于0時(shí)求極限

limit(fun,x,a,'left') ：求左極限，還有右極限'right'

• 函數(shù)積分

MATLAB支持三重及以下的積分運(yùn)算

1. 一重積分

一元函數(shù)的數(shù)值積分有三個(gè)函數(shù)quad, quadl, quadv用法相同

[Q,num]=quad(fun,a,b,tol,str) fun為被積函數(shù)句柄，a,b為積分上限和積分下限，tol用于控制誤差，增大tol可加快計(jì)算速度但精度下降，str非0時(shí)輸出計(jì)算過(guò)程中的[num a b-a Q]，num為函數(shù)計(jì)算的次數(shù)。此函數(shù)適用于精度低、被積函數(shù)平滑性較差的數(shù)值積分。num,tol,str為可選參數(shù)

quadl適用于精度高被積函數(shù)較平滑的數(shù)值積分

quadv用于被積函數(shù)是一些列函數(shù)的積分

2.二重積分

Q= dbquad (fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,@quad)

Q=dbquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,myfun)

MATLAB默認(rèn)采用quad函數(shù)計(jì)算一維積分；@quad表示用戶(hù)指定采用quadl函數(shù)來(lái)計(jì)算一維積分；myfun表示用自己編寫(xiě)的一維積分函數(shù)

3.三重積分

Q= triplequad (fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol,@quad)后面兩個(gè)參數(shù)為可選項(xiàng)