晶體投影

晶體內(nèi)的幾何關(guān)系都是三維的，表示起來(lái)很不方便，是不同晶面晶向間的關(guān)系以及它們運(yùn)動(dòng)的軌跡很難用三維圖表達(dá)清楚。所以，往往把它們轉(zhuǎn)化為一種平面關(guān)系。最普遍使用的方法是極射赤面投影。

01極射投影

極射赤面投影方法如下圖1所示。

圖1 由球面投影轉(zhuǎn)化為極射赤面投影

先過(guò)參考球球心作以平面，以它作為投影面，投影面和參考球相交的大圓稱為基圓，又稱為赤道平面。垂直于投影面并過(guò)球心的軸NS為投影軸。投影軸在參考球上的兩個(gè)交點(diǎn)S和N詩(shī)參考球的南極和北極。處于上半球面上的極點(diǎn)（A、B跡點(diǎn)）和S相連，處于下半球面上的極點(diǎn)（跡點(diǎn)）和N相連，它們的連線和投影面的交點(diǎn)就是這個(gè)極點(diǎn)（跡點(diǎn)）的極射赤面投影點(diǎn)。

劃重點(diǎn)?。O射投影有何規(guī)律呢？

1、與赤道面平行的晶面，它的極射投影點(diǎn)必在基圓中心；

2、垂直于赤道面的晶面，它們的極點(diǎn)的投影必在基圓的圓周上。

3、傾斜晶面的極點(diǎn)的極射投影必在基圓內(nèi)，晶面法線與投影軸的夾角越小，則投影點(diǎn)距基圓中心越近；反之，就越趨向于基圓圓周。

02等面積投影

在EBSD軟件中，取向數(shù)據(jù)還可以以等面積投影方式（equal area projection）表達(dá)。在等面積投影中，參考球上等面積區(qū)域在其投影中有相同的面積。這種投影的優(yōu)點(diǎn)是真實(shí)地反映了密度分布，例如隨機(jī)取向分布在等面積圖上是均勻分布的（見(jiàn)下圖2-b），而在極射赤面投影中反而不是均勻分布的，中心區(qū)域的密度高，見(jiàn)下圖2-a。

圖2 500個(gè)隨機(jī)分布的晶粒某一晶面的極在極射赤面投影圖(a)和等面積投影圖中的分布(b)

在極射投影中，參考球上一點(diǎn)P經(jīng)極射后在（放大的）赤道面上的投影點(diǎn)距中心原點(diǎn)的距離是2tan(α/2)，見(jiàn)下圖3-a。而等面積投影對(duì)應(yīng)的距離是2sin(α/2)，見(jiàn)下圖3-b。

等面積投影與極射投影的比較

a-極射赤面投影；b-等面積投影；c-投影立體圖

確定極射赤面投影圖中的關(guān)系用吳氏（Wulff）網(wǎng)，而確定等面積投影圖中的關(guān)系用施密特（Schmid）網(wǎng)，見(jiàn)下圖4。

圖4 Wulff網(wǎng)（a）和Schmid網(wǎng)（b）

極射投影放大了極圖周邊的信息，而等面積投影放大了極圖中心區(qū)的信息。

等面積投影圖的缺點(diǎn)是參考球上的圓環(huán)投影后不再是圓環(huán)，大環(huán)上的角關(guān)系也不再保角到投影圖上。

在應(yīng)用上，材料研究人員多用極射赤面投影圖，地質(zhì)研究者多用等面積投影圖。兩種投影圖都可用來(lái)做極圖。

03標(biāo)準(zhǔn)投影圖

在實(shí)際應(yīng)用中往往使用標(biāo)準(zhǔn)投影圖（也稱標(biāo)準(zhǔn)極圖），它只是將一特定的晶面（常是低指數(shù)晶面）作為投影面而得到的極射赤面投影圖。這樣可一目了然地看出晶體中所有重要晶面的相對(duì)取向。

制作這種投影圖時(shí)，一般選擇某個(gè)低指數(shù)晶面（例如(000),(110),(111)等）作為投影面，將其他重要的晶面（重要晶面的數(shù)目視具體需要而定）的極點(diǎn)投影到這個(gè)面上。

如果所選的投影面是(hkl)，則此投影圖就稱作(hkl)標(biāo)準(zhǔn)投影圖。

下圖是立方系(001)標(biāo)準(zhǔn)投影圖的制作過(guò)程及其標(biāo)準(zhǔn)投影圖。

圖5 立方系標(biāo)準(zhǔn)（001）投影

下面以這個(gè)立方系(001)標(biāo)準(zhǔn)投影圖為例說(shuō)明制作方法。

在此之前，可以滑動(dòng)返回前面看看極射投影圖的規(guī)律，更有助于理解哦~~

① 首先，確認(rèn)基圓中心和基圓圓周：因?yàn)槭?001)的標(biāo)準(zhǔn)投影圖，所以，(001)極點(diǎn)在投影圖基圓中心。(001)極點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的面痕是基圓圓周，因此[001]為晶帶軸的晶帶的極點(diǎn)都在基圓圓周上。

② 如果在圓周上任意確定一點(diǎn)為(100)，因(010)(100)垂直，所以從(100)極點(diǎn)在大圓周上逆時(shí)針數(shù)90°就得到(010)極點(diǎn)。

③ (110)和(-110)也屬[001]晶帶，計(jì)算它們與(100)和(010)的夾角，就可以定出極點(diǎn)位置：(110)與(100)和(010)的夾角均為45°，所以它的極點(diǎn)在基圓圓周(100)和(010)的極點(diǎn)中間位置；(-110)與(100)和(010)極點(diǎn)的夾角分別為135°和45°，它的極點(diǎn)在(010)極點(diǎn)沿大圓周逆時(shí)針轉(zhuǎn)45°處。

④ 以[100]為晶帶軸的晶帶在投影圖過(guò)(010)及圓心的直徑上，(0-11)及(011)晶面屬于此帶軸。同樣，計(jì)算它們與(001)及(010)的夾角就可以定出它們的極點(diǎn)的位置。

⑤ 以[010]為晶帶軸的晶帶位于投影面過(guò)(100)極點(diǎn)及圓心的直徑上，(101)及(-101)晶面屬于此帶軸，同樣，計(jì)算它們和(010)及(001)的夾角就可定出它們的極點(diǎn)位置。

⑥過(guò)(010)及(101)的大圓弧是[-101]晶帶，而過(guò)(100)及(011)極點(diǎn)的大圓弧是[0-11]晶帶，而(111)同屬[-101]和[0-11]晶帶，所以這兩個(gè)大圓弧交點(diǎn)必是(111)極點(diǎn)。

⑦按照上面類(lèi)似的辦法可以一一定出各重要晶面的極點(diǎn)。

如何得到其他任一(hkl)面的標(biāo)準(zhǔn)極圖？？

有了(001)標(biāo)準(zhǔn)極圖，要得到其他任一(hkl)面的標(biāo)準(zhǔn)極圖，只需將(001)極圖中的(hkl)極點(diǎn)沿其與(001)點(diǎn)的連線（直線）轉(zhuǎn)到投影中心原(001)點(diǎn)位置，其他所有的極點(diǎn)都繞垂直于原(001)與(hkl)點(diǎn)連線且過(guò)原點(diǎn)的法線軸沿相應(yīng)的緯度線轉(zhuǎn)同一角度得到。

下圖6-c為（111）標(biāo)準(zhǔn)極圖的獲得。

圖6 不同標(biāo)準(zhǔn)極圖間的轉(zhuǎn)換

審核編輯：湯梓紅