卡爾曼濾波是一種用于估算線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)的優(yōu)化算法，其基礎(chǔ)數(shù)學(xué)理論為貝葉斯定理，將傳感器測(cè)量值和系統(tǒng)模型的預(yù)測(cè)值進(jìn)行融合，得到對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)。貝葉斯定理是基于條件概率的公式，用于計(jì)算給定某些證據(jù)的情況下，事件發(fā)生的概率。在卡爾曼濾波中，貝葉斯定理用于估算系統(tǒng)狀態(tài)的后驗(yàn)概率分布，即給定過(guò)去和當(dāng)前的觀測(cè)值，預(yù)測(cè)未來(lái)狀態(tài)的概率分布。以下是卡爾曼濾波的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：

狀態(tài)空間模型

卡爾曼濾波的核心是狀態(tài)空間模型，它用一組狀態(tài)方程和觀測(cè)方程描述系統(tǒng)的演化和測(cè)量。狀態(tài)方程表示系統(tǒng)狀態(tài)如何隨時(shí)間演化，通常用一個(gè)線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)表示：

其中，x(k)表示系統(tǒng)在時(shí)刻 k 的狀態(tài)，F(xiàn)(k-1)是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，w(k-1)是系統(tǒng)的過(guò)程噪聲，通常假設(shè)為高斯白噪聲。

觀測(cè)方程表示傳感器如何測(cè)量系統(tǒng)的狀態(tài)，通常也用一個(gè)線性方程表示：

其中，z(k)表示傳感器在時(shí)刻 k 的測(cè)量值，H(k)是觀測(cè)矩陣，v(k)是測(cè)量噪聲，也假設(shè)為高斯白噪聲。

卡爾曼濾波過(guò)程

卡爾曼濾波的過(guò)程可以分為兩個(gè)步驟：預(yù)測(cè)和更新。

預(yù)測(cè)：根據(jù)狀態(tài)空間模型，對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)。具體來(lái)說(shuō)，根據(jù)上一時(shí)刻的狀態(tài)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，計(jì)算出當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)的先驗(yàn)估計(jì)值：

同時(shí)，根據(jù)過(guò)程噪聲的方差，計(jì)算出先驗(yàn)估計(jì)值的協(xié)方差矩陣：

其中，P(k-1)是上一時(shí)刻的協(xié)方差矩陣，Q(k-1)是過(guò)程噪聲的協(xié)方差矩陣。

更新：根據(jù)傳感器的測(cè)量值，對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行更新。具體來(lái)說(shuō)，根據(jù)觀測(cè)方程，計(jì)算出當(dāng)前時(shí)刻的測(cè)量值的估計(jì)值：

同時(shí)，根據(jù)測(cè)量噪聲的方差，計(jì)算出測(cè)量值的估計(jì)值的協(xié)方差矩陣：

其中，R(k)是測(cè)量噪聲的協(xié)方差矩陣。

接著，計(jì)算卡爾曼增益：

最后，根據(jù)卡爾曼增益，計(jì)算出當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)的后驗(yàn)估計(jì)值：

同時(shí)，更新協(xié)方差矩陣：

以上就是卡爾曼濾波的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

卡爾曼濾波算法是一種遞歸算法，即在每一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)上，都需要進(jìn)行狀態(tài)預(yù)測(cè)和狀態(tài)更新。通過(guò)迭代計(jì)算，可以得到系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)值及其誤差協(xié)方差矩陣。這些數(shù)據(jù)可以用于控制系統(tǒng)決策以及優(yōu)化系統(tǒng)性能。

編輯：黃飛