01 Sallen-Key濾波器

一、背景介紹

近期由于需要測試所搭建的高阻抗信號源放大電路，其中包括有低通濾波器，所以研究了 Sallen-Key topology ^[1]^ 相關(guān)濾波電路電路。如下是 Kennth A. Kuhn 在 2016 給出的 Sallen-Key Low-Pass Filter ^[2]^ 設(shè)想步驟；2002年 TI 給出的 Analysis of the Sallen-Key Architecture ^[3]^ 應(yīng)用報(bào)告，給出了不同 Kallen-Key 電路理論分析。

Sallen-Key 電子濾波器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，由于其結(jié)構(gòu)簡單，被用于二階有源濾波器電路設(shè)計(jì)，它是 VCVS（電壓控制-電壓輸出）濾波器簡化版本。VCVS 濾波器使用輸入阻抗高、輸出阻抗低的電壓放大器來實(shí)現(xiàn) 2 個極點(diǎn)的低通、高通、帶通濾波器。在不使用電感的情況下，可以獲得高 Q 值，通帶增益可調(diào)。多個 VCVS 濾波器可以直接級聯(lián)形成高階濾波器。Sallen-Key 濾波器則使用單位電壓增益的放大器（俗稱電壓跟隨器）設(shè)計(jì)的有源濾波器電路。

在1955年 R.P.Sallen，與 E.L.Key 利用了真空電子管陰極跟隨放大器-具有近似單位電壓增益電路設(shè)計(jì)濾波器。現(xiàn)代電子線路中則是普通的運(yùn)算放大器進(jìn)行設(shè)計(jì)，簡單情況下，使用晶體管發(fā)射極跟隨或者源極跟隨器進(jìn)行設(shè)計(jì)。

二、電路分析

雖然 Sallen-Key 電路結(jié)構(gòu)可以形成不同特性的濾波器，由于后面實(shí)驗(yàn)需要，后面僅僅對低通濾波器設(shè)計(jì)進(jìn)行討論。下圖是單位增益低通濾波器，可以實(shí)現(xiàn) s 平面上任意極點(diǎn)（實(shí)數(shù)，或者復(fù)數(shù)）位置配置。通常情況下，四個器件（R1，R2，C1，C2）取值各不相同。

▲ 圖1.2.1 Sallen-Key 單位增益低通濾波器電路

為了簡化分析，考慮在 s 域分析上述電路。利用 Kirchoff 節(jié)點(diǎn)電流定理，流過 R1 的電流等于流過 R2，C1的電流之和。方便起見，將 R1，R2，C1 連接節(jié)點(diǎn)電壓臨時設(shè)為 Vx。利用工作在放大區(qū)域的運(yùn)放“ 虛短 ”特性，可以知道運(yùn)放兩個輸入端的電壓都都與 Vo。于是有如下方程：

兩邊乘以 R1,R2消除分母，可得：

在根據(jù) Vx，Vo之間的關(guān)系是 R2，C2 的分壓關(guān)系，可以知道：

這樣可以得到：

將 （4）代入（1）經(jīng)過化簡可以得到濾波器輸入輸出之間的傳遞函數(shù)

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)的形式：

可以得到系統(tǒng)的自然諧振頻率 和阻尼系數(shù) ：

三、電路設(shè)計(jì)

電路設(shè)計(jì)是電路分析的逆過程，根據(jù)已知的兩個指標(biāo)（自然諧振頻率和阻尼系數(shù)）設(shè)計(jì)相應(yīng)的電路參數(shù)。由于未知參數(shù)是四個，所以理論上滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)的濾波器參數(shù)有無窮多個。在實(shí)際電路中并不是所有的電路參數(shù)都能夠很好的工作（比如電阻，電容的取值不能夠太大，或者太小等），因此我們系是要確定實(shí)際可以使用的電路參數(shù)。

1、設(shè)計(jì)中的問題

2、公式推導(dǎo)

根據(jù)公式（7），為了方便起見，先對阻尼系數(shù)等式兩邊平方：

將上述公式展開，并整理成比例形式

重新成立成關(guān)于比值 R2/R1 的二次方程：

最后求解化簡可得：

費(fèi)盡萬難得到公式（11），可以看出，當(dāng)要求濾波器阻尼系數(shù)小于 1.0 時， 對應(yīng)的電阻比值 R2/R1 就會出現(xiàn)復(fù)數(shù)情況，這當(dāng)然在實(shí)現(xiàn)過程中出現(xiàn)困難。

3、電路設(shè)計(jì)過程

□ 步驟1：

在文檔 Choosing Resisters and Capacitors for Op-Amp Active Filters ^[4]^ 給出了有源濾波器設(shè)計(jì)中電阻、電容選擇標(biāo)準(zhǔn)系列。首先可以根據(jù)下面公式計(jì)算出 C1，C2 的幾何平均值：

□ 步驟4：

至此，兩個電容數(shù)值 C1，C2 都已經(jīng)確定下來，并且是可以使用的實(shí)際電容。然后利用公式（11）計(jì)算出 R1，R2 的比值。然后在根據(jù)公式（7）的前半部分，計(jì)算出R1，R2的乘積：

□ 步驟5：

□ 步驟6：

當(dāng)設(shè)計(jì)完成之后，代入公式核算濾波器的參數(shù)（自然頻率和阻尼系數(shù)）是否滿足。之后再查看選擇的 電容、電阻是否合理，避免過小的電容，過大的電阻，這樣都可能會因?yàn)檫\(yùn)放的偏置電流以及集成電容使得濾波器性能產(chǎn)生較大的偏差。

四、設(shè)計(jì)舉例

下面設(shè)計(jì)一個 Sallen-Key 低通濾波器，選擇自然頻率為 1kHz， 濾波器的品質(zhì)因素 Q=2。下面給出具體的求解過程。

五、增益變化

當(dāng)運(yùn)放的增益不再是標(biāo)準(zhǔn)的單位增益，會對濾波器產(chǎn)生什么變化嗎？比如下面是通帶增益大于 1 的低通濾波器。增益由 R4,R3的比值決定。

▲ 圖1.5.1 通帶增益大于1的Sallen-Key低通濾波器

根據(jù)同樣的分析，可以得到濾波器的傳遞函數(shù)為：

相應(yīng)的濾波器參數(shù)為：

可以看到隨著運(yùn)放增益提高， 濾波器的自然頻率增加，阻尼系數(shù)降低。如果將電容 C2 的數(shù)值。