在數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)中，有限脈沖響應(yīng)(finite impulse response，F(xiàn)IR)數(shù)字濾波器是一個(gè)非常重要的基本單元。近年來(lái)，由于FPGA具有高速度、高集成度和高可靠性的特點(diǎn)而得到快速發(fā)展。隨著現(xiàn)代數(shù)字通信系統(tǒng)對(duì)于高精度、高處理速度的需求，越來(lái)越多的研究轉(zhuǎn)向采用FPGA來(lái)實(shí)現(xiàn)FIR濾波器。而對(duì)于FIR濾波器要充分考慮其資源與運(yùn)行速度的合理優(yōu)化，各種不同的FIR濾波結(jié)構(gòu)各具優(yōu)缺點(diǎn)，在了解各種結(jié)構(gòu)優(yōu)缺點(diǎn)后才能更好地選擇合適結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)FIR濾波。

1 FIR數(shù)字濾波器

FIR數(shù)字濾波器由有限個(gè)采樣值組成，設(shè)計(jì)中在滿足幅值特性時(shí)，還能保證精確、嚴(yán)格的相位特性，因此在信號(hào)處理等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。

對(duì)于FIR濾波器，其輸出y(n)表示為如下形式：

式中：N為濾波器的階數(shù)(或抽頭數(shù))；x(i)表示第i時(shí)刻的輸入樣本；h(i)為FIR濾波器的第i級(jí)抽頭系數(shù)。

由于FIR濾波器的沖擊響應(yīng)為一個(gè)有限序列，其系統(tǒng)函數(shù)可表示為：

FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)如圖1所示。FIR濾波器只在原點(diǎn)處存在極點(diǎn)，所以這使得FIR濾波器具有全局穩(wěn)定性。同時(shí)FIR濾波器滿足線性相位條件，其沖擊響應(yīng)序列為實(shí)數(shù)且滿足奇對(duì)稱或偶對(duì)稱條件，即：

2 實(shí)現(xiàn)方法

運(yùn)用FPGA來(lái)實(shí)現(xiàn)FIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)多種多樣，但是主要有以下幾類：串行結(jié)構(gòu)、并行結(jié)構(gòu)、轉(zhuǎn)置型結(jié)構(gòu)、基于FFT算法結(jié)構(gòu)、分布式結(jié)構(gòu)。其他類型的FIR濾波器結(jié)構(gòu)都可以由以上幾種結(jié)構(gòu)衍生而來(lái)。

2．1 串行結(jié)構(gòu)

由表達(dá)式(1)可知，F(xiàn)IR濾波器實(shí)質(zhì)是做一個(gè)乘累加運(yùn)算，其濾波器的階數(shù)決定了一次乘累加的次數(shù)，其串行結(jié)構(gòu)如圖2所示。

串行結(jié)構(gòu)的FIR濾波器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，硬件資源占用少，只需要復(fù)用1個(gè)乘法器和1個(gè)加法器，所以成本較低。但是，這種結(jié)構(gòu)的FIR濾波器要經(jīng)過(guò)多個(gè)時(shí)鐘周期才有輸出，同時(shí)，內(nèi)部時(shí)鐘周期還受到乘法器運(yùn)算速度的影響，所以該結(jié)構(gòu)的FIR濾波器處理速度慢，只適用于濾波階數(shù)較低且處理速度要求低的系統(tǒng)。

2．2 并行結(jié)構(gòu)

將串行結(jié)構(gòu)的FIR濾波器展開(kāi)就可以得到并行結(jié)構(gòu)的FIR濾波器，并行FIR濾波器結(jié)構(gòu)又稱作直接型FIR濾波器結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)是直接根據(jù)圖1的濾波器結(jié)構(gòu)，用多個(gè)乘法器和加法器并行實(shí)現(xiàn)。通常考慮到其濾波器系數(shù)的對(duì)稱性，先對(duì)輸入值進(jìn)行加法運(yùn)算，再進(jìn)行乘法運(yùn)算，最后累加輸出，以此來(lái)減少乘法器的個(gè)數(shù)，其結(jié)構(gòu)如圖3所示。

并行結(jié)構(gòu)的FIR濾波器在1個(gè)周期內(nèi)可以完成1次濾波，運(yùn)行速度快，雖然利用濾波系數(shù)對(duì)稱性，但仍要占用大量的乘法器和加法器，特別對(duì)于濾波階數(shù)高的濾波器，其資源占用較多，如對(duì)于256階的濾波器，其需要128個(gè)乘法器來(lái)實(shí)現(xiàn)。為提高濾波器速度，常引入流水線結(jié)構(gòu)，即在每次加法或者乘法運(yùn)算后加入1個(gè)寄存器存儲(chǔ)數(shù)據(jù)，使得濾波器可以運(yùn)行在更高的頻率上。

2．3 轉(zhuǎn)置型結(jié)構(gòu)

根據(jù)轉(zhuǎn)置定理，如果將網(wǎng)絡(luò)中所有的支路方向倒轉(zhuǎn)，并將輸入x(n)和輸出y(n)相互交換，則其系統(tǒng)函數(shù)H(z)不變。通過(guò)轉(zhuǎn)置定理，將并行結(jié)構(gòu)的FIR濾波器變換就可以得到轉(zhuǎn)置型FIR濾波器，其結(jié)構(gòu)如圖4所示。

基于并行結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)置型FIR濾波器實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)的并行輸入，在1個(gè)周期內(nèi)就能完成1次濾波，并且各級(jí)結(jié)構(gòu)相同，在每個(gè)階段都可以讀出數(shù)據(jù)，可以對(duì)濾波階數(shù)進(jìn)行擴(kuò)展或者縮減，實(shí)現(xiàn)任意階數(shù)的濾波器。但是由于基于的是并行結(jié)構(gòu)，便有著并行結(jié)構(gòu)的一些缺點(diǎn)，主要是對(duì)于高階的濾波器，其資源占用量是巨大的，設(shè)計(jì)成本高。雖然這樣，轉(zhuǎn)置型FIR濾波器仍是應(yīng)用廣泛的一種濾波器。

2．4 基于FFT的結(jié)構(gòu)

應(yīng)用快速傅里葉變換(fast fourier transform，F(xiàn)FT)實(shí)現(xiàn)FIR濾波器是一種快速實(shí)現(xiàn)濾波算法的重要途徑。由式(1)可知，F(xiàn)IR濾波器的輸出y(n)是輸入x(n)與系統(tǒng)沖擊響應(yīng)序列h(n)的卷積，應(yīng)用FFT可以快速實(shí)現(xiàn)卷積變換。如圖5所示，先將輸入信號(hào)x(n)通過(guò)FFT變換為它的頻譜采樣值X(k)，然后再與FIR濾波器的頻響采樣值H(k)相乘，H(k)可事先存放在存儲(chǔ)器中，最后再將乘積X(k)H(k)通過(guò)快速傅里葉反變換(IF-FT)還原為時(shí)域序列，即得到輸出y(n)。

為實(shí)現(xiàn)FFT，根據(jù)兩有限長(zhǎng)序列的線性卷積可用其循環(huán)卷積代替而不發(fā)生混疊，必須選擇循環(huán)卷積長(zhǎng)度N≥N1+N2-1，即將x(n)和h(n)補(bǔ)零至長(zhǎng)度為N的序列，即：

在基于FFT的FIR濾波器結(jié)構(gòu)中，求X(k)，H(k)以及反傅里葉變換y(n)需要的乘法次數(shù)均為N／2log2N，而計(jì)算X(k)H(k)需要N次乘法，所以基于FFT的總乘法次數(shù)為mf=3／2Nlog2N+N。由于h(n)滿足式(3)條件，所以直接卷積所需的乘法次數(shù)為md=1／2N1N2。假設(shè)N1=N2，則比較這兩種乘法計(jì)算量有：

從表1可知，當(dāng)N1<42時(shí)，F(xiàn)FT法的運(yùn)算量小于直接卷積的運(yùn)算量，當(dāng)N1=42時(shí)，F(xiàn)FT法的運(yùn)算量與直接卷積的運(yùn)算量相當(dāng)，當(dāng)N1>42時(shí)，F(xiàn)FT法的運(yùn)算量大于直接卷積的運(yùn)算量，并且隨著N1增加，F(xiàn)FT法的運(yùn)算速度越來(lái)越快，特別是N1=8 192時(shí)，F(xiàn)FT法的運(yùn)算速度與直接卷積相比快上將近100倍。

2．5 分布式結(jié)構(gòu)

2．5．1 分布式算法原理

分布式算法(distributed arithmetic，DA)于1973年就由Croisier提出，但是直到FPGA出現(xiàn)，才廣泛的被應(yīng)用于FPGA中計(jì)算乘累積和。

對(duì)于有符號(hào)數(shù)x(n)可以用下式的補(bǔ)碼形式表示：

對(duì)于式(7)中的h(i)xb(n-i)代表著輸入數(shù)據(jù)x(n-i)的第i位與抽頭系數(shù)h(i)的乘積，對(duì)于FIR濾波器，其系數(shù)h(i)是常數(shù)，所以可以事先構(gòu)造一個(gè)查找表。該查找表存儲(chǔ)所有h(i)xb(n-i)的乘積值，通過(guò)輸入(xb(N-1)，xb(N-2)，…，xb(0))對(duì)該表尋址，然后將查得的值乘上2b后移位累加便得到濾波器輸出y(n)。該查找表構(gòu)造規(guī)則如表2所示。

2．5．2 基于分布式算法的FIR濾波器結(jié)構(gòu)

基于分布式算法的FIR濾波器主要有3種結(jié)構(gòu)類型。

(1)第一種結(jié)構(gòu)為串行分布式結(jié)構(gòu)。串行分布式FIR濾波器的原理為，首先用所有N個(gè)輸入量的最低位對(duì)DA查找表進(jìn)行尋址查值，得到一個(gè)部分積，將部分積右移一位即相當(dāng)于除以2后放到寄存器中暫存。同時(shí)，N個(gè)輸入量的次低位開(kāi)始對(duì)DA查找表進(jìn)行尋址查值，得到另一個(gè)部分積，把該部分積與上一個(gè)儲(chǔ)存在寄存器中的值進(jìn)行相加，相加后的值再右移一位放到寄存器中。以此重復(fù)循環(huán)累加，直到所有位數(shù)都尋址完成，注意最高位尋址后的部分積是相減，最后所得到的值就是所需要的結(jié)果。

當(dāng)N過(guò)大，即FIR濾波器的濾波階數(shù)很高時(shí)，采用一個(gè)查找表來(lái)實(shí)現(xiàn)將使得存儲(chǔ)查找表的ROM變得十分龐大。為此可采用部分表結(jié)構(gòu)，即將查找表劃分為多個(gè)部分，N個(gè)輸入量的同一位對(duì)應(yīng)不同的部分表尋址。圖6所示即為基于4輸入部分表結(jié)構(gòu)的串行DA結(jié)構(gòu)。

(2)第二種結(jié)構(gòu)為并行分布式結(jié)構(gòu)。并行分布式結(jié)構(gòu)就是將N個(gè)輸入量的不同位進(jìn)行同時(shí)查表，而相同位送入同一個(gè)ROM尋址，不同位有不同的ROM。其結(jié)構(gòu)如圖7所示。

第三種結(jié)構(gòu)為串并結(jié)合分布式結(jié)構(gòu)。它是一種折中方案，既要求速度不太高又要求資源占用少。對(duì)于串行分布式算法，是一次一位(one bit-at-a-time，1BAAT)查找表，而并行分布式算法是一次B位(B bits-at-a-time)。所以串并結(jié)合分布式算法采用一次多位，如2BAAT，3BA-AT。圖8所示為4BAAT查找表結(jié)構(gòu)圖。

圖8中位數(shù)B是4的倍數(shù)，SRL為移位寄存器。SRL中第1行從右邊數(shù)第1列為數(shù)據(jù)的0位，第2列為數(shù)據(jù)的1位，第3列為數(shù)據(jù)的2位，第4列為數(shù)據(jù)的3位。類似地，第2行右數(shù)第1列為數(shù)據(jù)的4位，第2列為數(shù)據(jù)的5位，第3列為數(shù)據(jù)的6位，第4列為數(shù)據(jù)的7位。以后各行按相似的數(shù)位順序排列。在第一個(gè)時(shí)鐘周期，數(shù)據(jù)的0，4，…，B-4位同時(shí)進(jìn)入查找表ROM中，查出所要的數(shù)據(jù)，第二個(gè)時(shí)鐘周期，1，5，…，B-3位同時(shí)進(jìn)入ROM中，查出所要的數(shù)據(jù)，所查得的數(shù)據(jù)傳遞給下一級(jí)累加器進(jìn)行累加，這樣依次對(duì)剩下的各數(shù)據(jù)位進(jìn)行同樣的操作。由于每個(gè)塊之間相差4位，即16倍，為了對(duì)應(yīng)位相加，所以乘16。FIR濾波器的分布式算法結(jié)構(gòu)比單獨(dú)用乘法器實(shí)現(xiàn)的速度快，特別是濾波階數(shù)越高，其優(yōu)勢(shì)更加明顯。分布式結(jié)構(gòu)中，串行結(jié)構(gòu)是1次查詢1位，所以對(duì)B位的數(shù)據(jù)在不算上移位寄存等的時(shí)間，完成1次濾波需要B個(gè)時(shí)鐘周期；而并行結(jié)構(gòu)只需要1個(gè)時(shí)鐘周期便完成濾波，所以并行結(jié)構(gòu)是速度最優(yōu)的結(jié)構(gòu)，但是并行結(jié)構(gòu)需要B個(gè)DA查找表，需要大量的ROM來(lái)儲(chǔ)存，加大了硬件資源的消耗，特別是階數(shù)越高，硬件規(guī)模將十分膨大；串并結(jié)構(gòu)綜合兩種結(jié)構(gòu)優(yōu)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)在速度和規(guī)模上的協(xié)調(diào)。實(shí)際應(yīng)用中。需根據(jù)系統(tǒng)的要求來(lái)選擇合適的結(jié)構(gòu)。

3 結(jié)語(yǔ)

本文定性地分析了各種FIR濾波器的FPGA實(shí)現(xiàn)方法。對(duì)于低階的FIR濾波器可采用串行結(jié)構(gòu)、并行結(jié)構(gòu)以及轉(zhuǎn)置型結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)，而并行結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)置型結(jié)構(gòu)的FIR濾波器以犧牲資源損耗來(lái)實(shí)現(xiàn)了速度上優(yōu)勢(shì)；對(duì)于高階的FIR濾波器，基于乘法器結(jié)構(gòu)的串行結(jié)構(gòu)、并行結(jié)構(gòu)及轉(zhuǎn)置型結(jié)構(gòu)在速度上難以達(dá)到高速處理的要求，而分布式算法將乘法轉(zhuǎn)換為查表和累加的結(jié)構(gòu)，使得分布式結(jié)構(gòu)的FIR濾波器在速度上得到了提高，

但三種不同形式的分布式結(jié)構(gòu)要在綜合考慮資源以及速度的基礎(chǔ)上進(jìn)行合理選擇；同樣采用FFT實(shí)現(xiàn)的FIR濾波器以減少運(yùn)算量來(lái)獲得了速度上的提高，特別是濾波階數(shù)越高其速度提升越明顯。

現(xiàn)代工程技術(shù)領(lǐng)域?qū)V波系統(tǒng)的帶寬、高速、信號(hào)的實(shí)時(shí)性處理等方面要求越來(lái)越高，在運(yùn)用FPGA來(lái)實(shí)現(xiàn)FIR濾波中，基于乘法器結(jié)構(gòu)的FIR濾波器無(wú)法滿足以上要求，而分布式結(jié)構(gòu)的FIR濾波器巧妙地運(yùn)用ROM查找表來(lái)實(shí)現(xiàn)固定系數(shù)的乘累加運(yùn)算，避免了乘法運(yùn)算，并且在隨后的每級(jí)加法運(yùn)算中引入流水線結(jié)構(gòu)，提高了速度。因此采用分布式算法實(shí)現(xiàn)FIR濾波器是目前研究的熱點(diǎn)，同時(shí)無(wú)論哪種分布式算法都要使用ROM來(lái)做查找表，但是隨著濾波階數(shù)的增加，ROM的數(shù)量將會(huì)增加，在進(jìn)一步提高速度的情況下如何減少ROM的數(shù)量是今后亟待解決的問(wèn)題。

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