例說(shuō)信號(hào)處理與濾波器設(shè)計(jì)(之二)

五 向量運(yùn)算的啟示

計(jì)算簡(jiǎn)單, 幾何意義明確——模相乘, 相位相加.

圖14 向量加的直角坐標(biāo)表示

圖15 向量乘法的極坐標(biāo)表示

向量運(yùn)算的例子告訴我們, 選擇不同的坐標(biāo)系, 不僅影響運(yùn)算的復(fù)雜度, 在解釋運(yùn)算的幾何意義時(shí)也各有千秋. 上例告訴我們, 如果是向量的加法, 直角坐標(biāo)系比極坐標(biāo)系方便; 如果是向量的乘法, 很顯然, 極坐標(biāo)系比直角坐標(biāo)系方便.

回到數(shù)字信號(hào)處理的話題, 卷積和是讓無(wú)數(shù)人困惑的公式, 然而, 它又是經(jīng)典數(shù)字信號(hào)處理算法的根源. 既然卷積和運(yùn)算就是濾波, 我們?nèi)绾卧u(píng)判濾波的效果呢? 從什么角度理解系統(tǒng)的濾波行為更好呢?

再想想知了的叫聲, 之所以煩人, 是因?yàn)榘舜罅康母哳l分量. 看來(lái), 用頻率這一參數(shù)來(lái)解釋信號(hào)特性很符合人的直觀感覺(jué). 我們有更好的方式來(lái)洞悉卷積和的物理意義嗎? 能不能站在頻(率)域的角度來(lái)解釋卷積和呢? 當(dāng)然可以, 因?yàn)槲覀冇芯矸e定理(性質(zhì)):

通過(guò)傅里葉變換, 將時(shí)域中的卷積和運(yùn)算換成了頻域中的相乘運(yùn)算. 那么頻域中的相乘運(yùn)算有什么好處呢? 不要忘了, 我們主要是為了直觀解釋濾波的行為和特性.

在上述的討論中, 我們只關(guān)注幅度譜, 實(shí)際中, 相位譜也必須考慮, 更完整的表達(dá)式為

通過(guò)向量乘法運(yùn)算的例子, 我們可以看到, 向量的表示方式起到了關(guān)鍵性的作用; 同樣地, 信號(hào)也有不同的描述方式, 如時(shí)域、頻域、復(fù)頻域, 不同的表示方法都是為了使分析問(wèn)題更簡(jiǎn)單、物理意義更明確.

圖16 濾波前知了聲x[n]時(shí)域波形

(紅框是希望保留的低頻分量)

六 濾波器設(shè)計(jì)征程

圖21 數(shù)字低通濾波器指標(biāo)

clc;

closeall

fs = 11025; %采樣頻率(Hz)

Fp =2000; %通帶截止頻率(Hz)

Fs =2500; %阻帶截止頻率(Hz)

Ap =0.1; %通帶衰減(dB)

As =50; %阻帶衰減(dB)

wp = 2*Fp/fs; %歸一化通帶截止頻率

ws = 2*Fs/fs; %歸一化阻帶截止頻率

[N,Wp]= ellipord(wp, ws, Ap, As); %確定帶通濾波器的階數(shù)和截止頻率

[b, a]= ellip(N, Ap, As, Wp); %確定濾波器系數(shù)

[h, w]= freqz(b, a); %求數(shù)字帶通濾波器的頻率響應(yīng)

%以下為繪圖命令, 繪制帶通濾波器的幅頻響應(yīng)

figure;

plot(w*fs/(2*pi),20*log10(abs(h)/max(abs(h))));

axis([0,fs/2, -100,0]);

title('數(shù)字低通濾波器的幅度響應(yīng)');

xlabel('頻率(Hz)');

ylabel('幅度(dB)');

grid

如果你掌握了濾波器設(shè)計(jì)的基本理論, 但又不想寫(xiě)代碼, 你可以利用FDATool輕松完成濾波器設(shè)計(jì)的全過(guò)程.

在命令窗口輸入: fdatool, 回車, 就可以看到下圖所示的界面:

然后動(dòng)動(dòng)鼠標(biāo)就可以完成濾波器設(shè)計(jì)了. 針對(duì)本例, 我們按下圖紅框所示設(shè)定指標(biāo), 在完成指標(biāo)設(shè)定之后, 點(diǎn)“Design Filter”按鈕即完成設(shè)計(jì). 關(guān)于濾波器的所有信息, 都可以通過(guò)菜單或工具欄獲得. 注意”CurrentFilter Information”部分, 它描述了當(dāng)前所設(shè)計(jì)出的濾波器基本信息, 包括結(jié)構(gòu)、階次、穩(wěn)定性等. 有一個(gè)問(wèn)題值得思考: 濾波器的結(jié)構(gòu)對(duì)濾波器的工程實(shí)現(xiàn)有什么影響呢? 成本、穩(wěn)定性、抗噪聲性能, 這些都與結(jié)構(gòu)有關(guān), 因此, 掌握濾波器各種結(jié)構(gòu)的優(yōu)缺點(diǎn)也十分重要.

很顯然, 用FDATool設(shè)計(jì)濾波器十分簡(jiǎn)單!無(wú)論采用什么方法, 都不要忘記濾波器設(shè)計(jì)的根本目標(biāo)——得到濾波器系數(shù). 關(guān)于FDATool更多內(nèi)容, 請(qǐng)點(diǎn)這里和這里.

當(dāng)濾波器設(shè)計(jì)完成之后, 我們?cè)摽紤]如何用所得到的系數(shù)對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行濾波了.