“損失函數(shù)”是機(jī)器學(xué)習(xí)優(yōu)化中至關(guān)重要的一部分。L1、L2損失函數(shù)相信大多數(shù)人都早已不陌生。那你了解Huber損失、Log-Cosh損失、以及常用于計(jì)算預(yù)測(cè)區(qū)間的分位數(shù)損失么？這些可都是機(jī)器學(xué)習(xí)大牛最常用的回歸損失函數(shù)哦！

機(jī)器學(xué)習(xí)中所有的算法都需要最大化或最小化一個(gè)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)被稱(chēng)為“目標(biāo)函數(shù)”。其中，我們一般把最小化的一類(lèi)函數(shù)，稱(chēng)為“損失函數(shù)”。它能根據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果，衡量出模型預(yù)測(cè)能力的好壞。

在實(shí)際應(yīng)用中，選取損失函數(shù)會(huì)受到諸多因素的制約，比如是否有異常值、機(jī)器學(xué)習(xí)算法的選擇、梯度下降的時(shí)間復(fù)雜度、求導(dǎo)的難易程度以及預(yù)測(cè)值的置信度等等。因此，不存在一種損失函數(shù)適用于處理所有類(lèi)型的數(shù)據(jù)。這篇文章就講介紹不同種類(lèi)的損失函數(shù)以及它們的作用。

損失函數(shù)大致可分為兩類(lèi)：分類(lèi)問(wèn)題的損失函數(shù)和回歸問(wèn)題的損失函數(shù)。在這篇文章中，我將著重介紹回歸損失。

本文出現(xiàn)的代碼和圖表我們都妥妥保存在這兒了：

https://nbviewer.jupyter.org/github/groverpr/Machine-Learning/blob/master/notebooks/05_Loss_Functions.ipynb

分類(lèi)、回歸問(wèn)題損失函數(shù)對(duì)比

均方誤差

均方誤差(MSE)是最常用的回歸損失函數(shù)，計(jì)算方法是求預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間距離的平方和，公式如圖。

下圖是MSE函數(shù)的圖像，其中目標(biāo)值是100，預(yù)測(cè)值的范圍從-10000到10000，Y軸代表的MSE取值范圍是從0到正無(wú)窮，并且在預(yù)測(cè)值為100處達(dá)到最小。

MSE損失（Y軸）-預(yù)測(cè)值（X軸）

平均絕對(duì)值誤差（也稱(chēng)L1損失）

平均絕對(duì)誤差（MAE）是另一種用于回歸模型的損失函數(shù)。MAE是目標(biāo)值和預(yù)測(cè)值之差的絕對(duì)值之和。其只衡量了預(yù)測(cè)值誤差的平均模長(zhǎng)，而不考慮方向，取值范圍也是從0到正無(wú)窮（如果考慮方向，則是殘差/誤差的總和——平均偏差（MBE））。

MAE損失（Y軸）-預(yù)測(cè)值（X軸）

MSE（L2損失）與MAE（L1損失）的比較

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，MSE計(jì)算簡(jiǎn)便，但MAE對(duì)異常點(diǎn)有更好的魯棒性。下面就來(lái)介紹導(dǎo)致二者差異的原因。

訓(xùn)練一個(gè)機(jī)器學(xué)習(xí)模型時(shí)，我們的目標(biāo)就是找到損失函數(shù)達(dá)到極小值的點(diǎn)。當(dāng)預(yù)測(cè)值等于真實(shí)值時(shí)，這兩種函數(shù)都能達(dá)到最小。

下面是這兩種損失函數(shù)的python代碼。你可以自己編寫(xiě)函數(shù)，也可以使用sklearn內(nèi)置的函數(shù)。

# true: Array of true target variable# pred: Array of predictionsdef mse(true, pred): return np.sum((true - pred)**2)def mae(true, pred): return np.sum(np.abs(true - pred)) # also available in sklearnfrom sklearn.metrics import mean_squared_errorfrom sklearn.metrics import mean_absolute_error

下面讓我們觀察MAE和RMSE（即MSE的平方根，同MAE在同一量級(jí)中）在兩個(gè)例子中的計(jì)算結(jié)果。第一個(gè)例子中，預(yù)測(cè)值和真實(shí)值很接近，而且誤差的方差也較小。第二個(gè)例子中，因?yàn)榇嬖谝粋€(gè)異常點(diǎn)，而導(dǎo)致誤差非常大。

左圖：誤差比較接近 右圖：有一個(gè)誤差遠(yuǎn)大于其他誤差

從圖中可以知道什么？應(yīng)當(dāng)如何選擇損失函數(shù)？

MSE對(duì)誤差取了平方（令e=真實(shí)值-預(yù)測(cè)值），因此若e>1，則MSE會(huì)進(jìn)一步增大誤差。如果數(shù)據(jù)中存在異常點(diǎn)，那么e值就會(huì)很大，而e2則會(huì)遠(yuǎn)大于|e|。

因此，相對(duì)于使用MAE計(jì)算損失，使用MSE的模型會(huì)賦予異常點(diǎn)更大的權(quán)重。在第二個(gè)例子中，用RMSE計(jì)算損失的模型會(huì)以犧牲了其他樣本的誤差為代價(jià)，朝著減小異常點(diǎn)誤差的方向更新。然而這就會(huì)降低模型的整體性能。

如果訓(xùn)練數(shù)據(jù)被異常點(diǎn)所污染，那么MAE損失就更好用（比如，在訓(xùn)練數(shù)據(jù)中存在大量錯(cuò)誤的反例和正例標(biāo)記，但是在測(cè)試集中沒(méi)有這個(gè)問(wèn)題）。

直觀上可以這樣理解：如果我們最小化MSE來(lái)對(duì)所有的樣本點(diǎn)只給出一個(gè)預(yù)測(cè)值，那么這個(gè)值一定是所有目標(biāo)值的平均值。但如果是最小化MAE，那么這個(gè)值，則會(huì)是所有樣本點(diǎn)目標(biāo)值的中位數(shù)。眾所周知，對(duì)異常值而言，中位數(shù)比均值更加魯棒，因此MAE對(duì)于異常值也比MSE更穩(wěn)定。

然而MAE存在一個(gè)嚴(yán)重的問(wèn)題（特別是對(duì)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）：更新的梯度始終相同，也就是說(shuō)，即使對(duì)于很小的損失值，梯度也很大。這樣不利于模型的學(xué)習(xí)。為了解決這個(gè)缺陷，我們可以使用變化的學(xué)習(xí)率，在損失接近最小值時(shí)降低學(xué)習(xí)率。

而MSE在這種情況下的表現(xiàn)就很好，即便使用固定的學(xué)習(xí)率也可以有效收斂。MSE損失的梯度隨損失增大而增大，而損失趨于0時(shí)則會(huì)減小。這使得在訓(xùn)練結(jié)束時(shí)，使用MSE模型的結(jié)果會(huì)更精確。

根據(jù)不同情況選擇損失函數(shù)

如果異常點(diǎn)代表在商業(yè)中很重要的異常情況，并且需要被檢測(cè)出來(lái)，則應(yīng)選用MSE損失函數(shù)。相反，如果只把異常值當(dāng)作受損數(shù)據(jù)，則應(yīng)選用MAE損失函數(shù)。

推薦大家讀一下這篇文章，文中比較了分別使用L1、L2損失的回歸模型在有無(wú)異常值時(shí)的表現(xiàn)。

文章網(wǎng)址：

http://rishy.github.io/ml/2015/07/28/l1-vs-l2-loss/

這里L(fēng)1損失和L2損失只是MAE和MSE的別稱(chēng)。

總而言之，處理異常點(diǎn)時(shí)，L1損失函數(shù)更穩(wěn)定，但它的導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，因此求解效率較低。L2損失函數(shù)對(duì)異常點(diǎn)更敏感，但通過(guò)令其導(dǎo)數(shù)為0，可以得到更穩(wěn)定的封閉解。

二者兼有的問(wèn)題是：在某些情況下，上述兩種損失函數(shù)都不能滿(mǎn)足需求。例如，若數(shù)據(jù)中90%的樣本對(duì)應(yīng)的目標(biāo)值為150，剩下10%在0到30之間。那么使用MAE作為損失函數(shù)的模型可能會(huì)忽視10%的異常點(diǎn)，而對(duì)所有樣本的預(yù)測(cè)值都為150。

這是因?yàn)槟Ｐ蜁?huì)按中位數(shù)來(lái)預(yù)測(cè)。而使用MSE的模型則會(huì)給出很多介于0到30的預(yù)測(cè)值，因?yàn)槟Ｐ蜁?huì)向異常點(diǎn)偏移。上述兩種結(jié)果在許多商業(yè)場(chǎng)景中都是不可取的。

這些情況下應(yīng)該怎么辦呢？最簡(jiǎn)單的辦法是對(duì)目標(biāo)變量進(jìn)行變換。而另一種辦法則是換一個(gè)損失函數(shù)，這就引出了下面要講的第三種損失函數(shù)，即Huber損失函數(shù)。

Huber損失，平滑的平均絕對(duì)誤差

Huber損失對(duì)數(shù)據(jù)中的異常點(diǎn)沒(méi)有平方誤差損失那么敏感。它在0也可微分。本質(zhì)上，Huber損失是絕對(duì)誤差，只是在誤差很小時(shí)，就變?yōu)槠椒秸`差。誤差降到多小時(shí)變?yōu)槎握`差由超參數(shù)δ（delta）來(lái)控制。當(dāng)Huber損失在[0-δ,0+δ]之間時(shí)，等價(jià)為MSE，而在[-∞,δ]和[δ,+∞]時(shí)為MAE。

Huber損失（Y軸）與預(yù)測(cè)值（X軸）圖示。真值取0

這里超參數(shù)delta的選擇非常重要，因?yàn)檫@決定了你對(duì)與異常點(diǎn)的定義。當(dāng)殘差大于delta，應(yīng)當(dāng)采用L1（對(duì)較大的異常值不那么敏感）來(lái)最小化，而殘差小于超參數(shù)，則用L2來(lái)最小化。

為何要使用Huber損失？

使用MAE訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最大的一個(gè)問(wèn)題就是不變的大梯度，這可能導(dǎo)致在使用梯度下降快要結(jié)束時(shí)，錯(cuò)過(guò)了最小點(diǎn)。而對(duì)于MSE，梯度會(huì)隨著損失的減小而減小，使結(jié)果更加精確。

在這種情況下，Huber損失就非常有用。它會(huì)由于梯度的減小而落在最小值附近。比起MSE，它對(duì)異常點(diǎn)更加魯棒。因此，Huber損失結(jié)合了MSE和MAE的優(yōu)點(diǎn)。但是，Huber損失的問(wèn)題是我們可能需要不斷調(diào)整超參數(shù)delta。

Log-Cosh損失

Log-cosh是另一種應(yīng)用于回歸問(wèn)題中的，且比L2更平滑的的損失函數(shù)。它的計(jì)算方式是預(yù)測(cè)誤差的雙曲余弦的對(duì)數(shù)。

Log-cosh損失（Y軸）與預(yù)測(cè)值（X軸）圖示。真值取0

優(yōu)點(diǎn)：對(duì)于較小的x，log(cosh(x))近似等于(x^2)/2，對(duì)于較大的x，近似等于abs(x)-log(2)。這意味著‘logcosh’基本類(lèi)似于均方誤差，但不易受到異常點(diǎn)的影響。它具有Huber損失所有的優(yōu)點(diǎn)，但不同于Huber損失的是，Log-cosh二階處處可微。

為什么需要二階導(dǎo)數(shù)？許多機(jī)器學(xué)習(xí)模型如XGBoost，就是采用牛頓法來(lái)尋找最優(yōu)點(diǎn)。而牛頓法就需要求解二階導(dǎo)數(shù)（Hessian）。因此對(duì)于諸如XGBoost這類(lèi)機(jī)器學(xué)習(xí)框架，損失函數(shù)的二階可微是很有必要的。

XgBoost中使用的目標(biāo)函數(shù)。注意對(duì)一階和二階導(dǎo)數(shù)的依賴(lài)性

但Log-cosh損失也并非完美，其仍存在某些問(wèn)題。比如誤差很大的話，一階梯度和Hessian會(huì)變成定值，這就導(dǎo)致XGBoost出現(xiàn)缺少分裂點(diǎn)的情況。

Huber和Log-cosh損失函數(shù)的Python代碼：

# huber lossdef huber(true, pred, delta): loss = np.where(np.abs(true-pred) < delta , 0.5*((true-pred)**2), delta*np.abs(true - pred) - 0.5*(delta**2)) ? ?return np.sum(loss)# log cosh lossdef logcosh(true, pred): ? ?loss = np.log(np.cosh(pred - true))return np.sum(loss)

分位數(shù)損失

在大多數(shù)現(xiàn)實(shí)世界預(yù)測(cè)問(wèn)題中，我們通常希望了解預(yù)測(cè)中的不確定性。清楚預(yù)測(cè)的范圍而非僅是估計(jì)點(diǎn)，對(duì)許多商業(yè)問(wèn)題的決策很有幫助。

當(dāng)我們更關(guān)注區(qū)間預(yù)測(cè)而不僅是點(diǎn)預(yù)測(cè)時(shí)，分位數(shù)損失函數(shù)就很有用。使用最小二乘回歸進(jìn)行區(qū)間預(yù)測(cè)，基于的假設(shè)是殘差（y-y_hat）是獨(dú)立變量，且方差保持不變。

一旦違背了這條假設(shè)，那么線性回歸模型就不成立。但是我們也不能因此就認(rèn)為使用非線性函數(shù)或基于樹(shù)的模型更好，而放棄將線性回歸模型作為基線方法。這時(shí)，分位數(shù)損失和分位數(shù)回歸就派上用場(chǎng)了，因?yàn)榧幢銓?duì)于具有變化方差或非正態(tài)分布的殘差，基于分位數(shù)損失的回歸也能給出合理的預(yù)測(cè)區(qū)間。

下面讓我們看一個(gè)實(shí)際的例子，以便更好地理解基于分位數(shù)損失的回歸是如何對(duì)異方差數(shù)據(jù)起作用的。

分位數(shù)回歸與最小二乘回歸

左：b/wX1和Y為線性關(guān)系。具有恒定的殘差方差。右：b/wX2和Y為線性關(guān)系，但Y的方差隨著X2增加。（異方差）

橙線表示兩種情況下OLS的估值

分位數(shù)回歸。虛線表示基于0.05和0.95分位數(shù)損失函數(shù)的回歸

附上圖中所示分位數(shù)回歸的代碼：

https://github.com/groverpr/Machine-Learning/blob/master/notebooks/09_Quantile_Regression.ipynb

理解分位數(shù)損失函數(shù)

如何選取合適的分位值取決于我們對(duì)正誤差和反誤差的重視程度。損失函數(shù)通過(guò)分位值（γ）對(duì)高估和低估給予不同的懲罰。例如，當(dāng)分位數(shù)損失函數(shù)γ=0.25時(shí)，對(duì)高估的懲罰更大，使得預(yù)測(cè)值略低于中值。

γ是所需的分位數(shù)，其值介于0和1之間。

分位數(shù)損失（Y軸）與預(yù)測(cè)值（X軸）圖示。Y的真值為0

這個(gè)損失函數(shù)也可以在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或基于樹(shù)的模型中計(jì)算預(yù)測(cè)區(qū)間。以下是用Sklearn實(shí)現(xiàn)梯度提升樹(shù)回歸模型的示例。

使用分位數(shù)損失（梯度提升回歸器）預(yù)測(cè)區(qū)間

上圖表明：在sklearn庫(kù)的梯度提升回歸中使用分位數(shù)損失可以得到90％的預(yù)測(cè)區(qū)間。其中上限為γ=0.95，下限為γ=0.05。

對(duì)比研究

為了證明上述所有損失函數(shù)的特點(diǎn)，讓我們來(lái)一起看一個(gè)對(duì)比研究。首先，我們建立了一個(gè)從sinc（x）函數(shù)中采樣得到的數(shù)據(jù)集，并引入了兩項(xiàng)人為噪聲：高斯噪聲分量ε?N（0，σ2）和脈沖噪聲分量ξ?Bern（p）。

加入脈沖噪聲是為了說(shuō)明模型的魯棒效果。以下是使用不同損失函數(shù)擬合GBM回歸器的結(jié)果。

連續(xù)損失函數(shù)：（A）MSE損失函數(shù)；（B）MAE損失函數(shù)；（C）Huber損失函數(shù)；（D）分位數(shù)損失函數(shù)。將一個(gè)平滑的GBM擬合成有噪聲的sinc（x）數(shù)據(jù)的示例：（E）原始sinc（x）函數(shù)；（F）具有MSE和MAE損失的平滑GBM；（G）具有Huber損失的平滑GBM，且δ={4,2,1}；（H）具有分位數(shù)損失的平滑的GBM，且α={0.5,0.1,0.9}。

仿真對(duì)比的一些觀察結(jié)果：

MAE損失模型的預(yù)測(cè)結(jié)果受脈沖噪聲的影響較小，而MSE損失函數(shù)的預(yù)測(cè)結(jié)果受此影響略有偏移。

Huber損失模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)所選超參數(shù)不敏感。

分位數(shù)損失模型在合適的置信水平下能給出很好的估計(jì)。

最后，讓我們將所有損失函數(shù)都放進(jìn)一張圖，我們就得到了下面這張漂亮的圖片！它們的區(qū)別是不是一目了然了呢~