馬爾科夫鏈、主成分分析以及條件概率等概念，是計(jì)算機(jī)學(xué)生必學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，然而理論的抽象性往往讓學(xué)生很難深入地去體會(huì)和理解。而本文，將這些抽象的理論概念，用可視化的方式來(lái)解釋?zhuān)€可調(diào)節(jié)相應(yīng)參數(shù)來(lái)改變結(jié)果，使這些抽象概念變得生動(dòng)而立體！

計(jì)算機(jī)相關(guān)概念太難、太抽象？別怕，往下看！

人類(lèi)對(duì)視覺(jué)信息的記憶要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于文字信息。使用圖表等形式的可視化，可以讓抽象、難懂的概念一目了然；在此基礎(chǔ)之上，添加可控的參數(shù)調(diào)節(jié)器，將更有助于對(duì)概念的深入學(xué)習(xí)與理解。

馬爾科夫鏈

馬爾科夫鏈?zhǔn)侵笖?shù)學(xué)中具有馬爾科夫性質(zhì)的離散事件隨機(jī)過(guò)程。在其每一步中，系統(tǒng)根據(jù)概率分布可以從一個(gè)狀態(tài)變到另一個(gè)狀態(tài)，也可以保持當(dāng)前狀態(tài)。狀態(tài)的改變叫做轉(zhuǎn)移，與不同的狀態(tài)改變相關(guān)的概率叫做轉(zhuǎn)移概率。

這概念是不是看著有點(diǎn)暈？沒(méi)關(guān)系，我們來(lái)看下面這張圖：

2種狀態(tài)的馬爾科夫鏈

在狀態(tài)空間中有兩種狀態(tài)，A和B。共有4種可能的轉(zhuǎn)換。如果我們?cè)贏，接下來(lái)可以過(guò)渡到B或留在A。如果我們?cè)贐，可以過(guò)渡到A或者留在B。在這張圖中，從任意狀態(tài)到任意狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率是0.5。

當(dāng)然，真正的建模工作者不會(huì)總是就畫(huà)一張馬爾科夫鏈圖。 相反，他們會(huì)使用“轉(zhuǎn)移矩陣”來(lái)計(jì)算轉(zhuǎn)移概率。狀態(tài)空間中的每個(gè)狀態(tài)都會(huì)出現(xiàn)在表格中的一列或者一行中。矩陣中的每個(gè)單元格都告訴你從行狀態(tài)轉(zhuǎn)換到列狀態(tài)的概率。因此，在矩陣中，單元格做的工作和圖中的箭頭所示是一樣。

如果狀態(tài)空間添加了一個(gè)狀態(tài)，我們將添加一行和一列，向每個(gè)現(xiàn)有的列和行添加一個(gè)單元格。 這意味著當(dāng)我們向馬爾可夫鏈添加狀態(tài)時(shí)，單元格的數(shù)量會(huì)呈二次方增長(zhǎng)。因此，轉(zhuǎn)換矩陣就起到了很大的作用（除非你想把法爾科夫鏈圖畫(huà)的跟叢林一樣）。

馬爾科夫鏈的一個(gè)作用是用計(jì)算機(jī)模擬現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象。例如，可以用來(lái)檢測(cè)一個(gè)新建的水壩溢流的頻率（取決于連續(xù)下雨的天數(shù)）。為建立這個(gè)模型，可以從下面的雨天（R）和晴天（S）開(kāi)始：

表述這種模擬天氣的方法就是：“有一半的天數(shù)是下雨天。所以模擬中的每一天都有50%的概率是下雨的?！边@個(gè)規(guī)則在模擬中所產(chǎn)生的序列如下：

你注意到上面的序列和原來(lái)的不太一樣了嗎?第二個(gè)序列似乎具有跳躍性，而第一個(gè)(真實(shí)數(shù)據(jù))似乎具有“粘性”。在真實(shí)的數(shù)據(jù)中，如果某一天是晴天，那么第二天也很可能是晴天。

可以通過(guò)兩個(gè)狀態(tài)的馬爾可夫鏈來(lái)消除這種“粘性”。當(dāng)馬爾科夫鏈處于狀態(tài)“R”時(shí)，它保持在該狀態(tài)的概率是0.9，狀態(tài)改變的概率是0.1。同樣，“S”狀態(tài)保持不變的概率是0.9，過(guò)渡到“R”狀態(tài)的概率是0.1。

在許多需要對(duì)大規(guī)模的現(xiàn)象做研究的工作人員手中，馬爾科夫鏈的作用可以變得非常強(qiáng)大。例如，谷歌用于確定搜索結(jié)果順序的算法，稱(chēng)為PageRank，就是一種馬爾可夫鏈。

主成分分析（PCA）

主成分分析， 是一種統(tǒng)計(jì)方法。通過(guò)正交變換將一組可能存在相關(guān)性的變量轉(zhuǎn)換為一組線性不相關(guān)的變量，轉(zhuǎn)換后的這組變量叫主成分。PCA是最重要的降維方法之一,在數(shù)據(jù)壓縮消除冗余和數(shù)據(jù)噪音消除等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。

2D示例

首先，只考慮兩個(gè)維度的數(shù)據(jù)集，比如高度和重量。這個(gè)數(shù)據(jù)集可以繪制成平面上的點(diǎn)。但如果想要整理出變量，PCA會(huì)找到一個(gè)新的坐標(biāo)系，其中每個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)新的(x,y)值。坐標(biāo)軸實(shí)際上沒(méi)有任何物理意義。它們是高度和重量的組合，被稱(chēng)為“主分量”。

拖動(dòng)原始數(shù)據(jù)集中的點(diǎn)，可以看到PC坐標(biāo)系統(tǒng)正在調(diào)整

PCA對(duì)于降維很有用。下面，我們將數(shù)據(jù)繪制成兩條直線:一條由x值組成，另一條由y值組成。

但是，如果我們只打算沿一個(gè)維度查看數(shù)據(jù)，那么將該維度作為具有最大變化的主成分可能會(huì)更好。 通過(guò)減少PC2，不會(huì)造成太大損失，因?yàn)樗鼘?duì)數(shù)據(jù)集的變化貢獻(xiàn)最小。

3D示例

看透一個(gè)數(shù)據(jù)云是非常困難的，因此，在3D空間中，PCA顯得更為重要。在下面的示例中，原始數(shù)據(jù)以3D的形式繪制，但可以通過(guò)不同的視角，將其投射到2D空間。確定好角度之后，點(diǎn)擊“顯示PCA”按鈕，即可呈現(xiàn)2D的結(jié)果。在本例中，PCA變換確保水平軸PC1的變化量最大，垂直軸PC2的變化量次之，第三軸PC3的變化量最少。顯然，PC3是丟棄的。

應(yīng)用：吃喝在英國(guó)

如果數(shù)據(jù)集不僅僅是三維的，而是17個(gè)維度的呢？！如下表所示：

表中是英國(guó)每個(gè)地區(qū)平均每人每周17種食物的消費(fèi)量，單位為克。這張表顯示了不同食物類(lèi)型之間存在的一些有趣的差異，但總體差異并不顯著。讓我們看看PCA是否可以通過(guò)降維來(lái)強(qiáng)地區(qū)家之間的差異。

下圖是第一個(gè)主成分的數(shù)據(jù)圖。 我們可以看到一些有關(guān)北愛(ài)爾蘭的情況已經(jīng)發(fā)生了變化。

現(xiàn)在，看看第一和第二主成分，可以看到北愛(ài)爾蘭是一個(gè)主要的異常值。一旦回過(guò)頭來(lái)看看表格中的數(shù)據(jù)，這就顯得很有道理了:北愛(ài)爾蘭人吃的新鮮土豆要很多，吃的新鮮水果、奶酪、魚(yú)和酒精飲料較少。這是一個(gè)很好的跡象，我們所看到的結(jié)構(gòu)反映了現(xiàn)實(shí)世界地理的一個(gè)重要事實(shí):北愛(ài)爾蘭是四個(gè)國(guó)家中唯一一個(gè)不在大不列顛島上的。

條件概率

條件概率是指一個(gè)事件在另外一個(gè)事件已經(jīng)發(fā)生條件下的發(fā)生概率。一個(gè)落下來(lái)的球可能落在紅色的架子上(稱(chēng)之為A事件)，或者落在藍(lán)色架子上(稱(chēng)之為B事件)，或者兩者兼而有之。

那么給定一個(gè)球，它擊中了紅色架子（A事件），而后擊中藍(lán)色架子（B事件）的概率會(huì)是多少呢？可以通過(guò)給定A的條件概率，即P（B | A）來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題。

將抽象、難懂的計(jì)算機(jī)概念，以可視化的形式展現(xiàn)出來(lái)，可以幫助學(xué)生、研究者更好的理解；甚至可以幫助教師們提高教學(xué)質(zhì)量。

無(wú)論如何，希望讀者們能從本文中得到或多或少的幫助。