圖1提供了濾波器部分的原理圖，這是本文要討論的主題。

圖1：SallenKey二階低通濾波器原理圖。

網(wǎng)上有許多不同的濾波器設(shè)計(jì)包。有些要求用戶指定濾波器階數(shù)和響應(yīng)類型，例如Butterworth或Bessel。其它則要求通帶紋波和寬度，以及阻帶衰減，然后自動(dòng)選擇響應(yīng)類型。這些可能會(huì)針對(duì)噪聲、電壓范圍、低功耗或其它參數(shù)來(lái)優(yōu)化。

其它設(shè)計(jì)包提供了更多的靈活性，而不只是處理響應(yīng)類型，它們可讓用戶指定每個(gè)二階濾波器的品質(zhì)因數(shù)Q和諧振頻率ω0（弧度/秒）。它們要求用戶指定額外的參數(shù)組合來(lái)限定問(wèn)題。這些參數(shù)可能包括DC增益和/或某些元件值。有了這些信息，就可以通過(guò)計(jì)算確定剩余的值。有時(shí)會(huì)提到Q和ω0對(duì)元件容差的敏感性問(wèn)題。眾所周知，濾波器在ω0時(shí)的幅度響應(yīng)表現(xiàn)出最大的變化，即使對(duì)于合適的Q值也是如此，但是在單位DC增益（Rf/Rg = 0）的情況下，這種變化最小。這就要求C1 = 4·Q2·C2，這對(duì)于Q值較大時(shí)可能是有問(wèn)題的。本文介紹的方法是當(dāng)C1小于4·Q2·C2時(shí)，如何讓濾波器響應(yīng)靈敏度在頻率ω0時(shí)達(dá)到最小。

濾波器配置的響應(yīng)由下式給出：

圖2：以Q和ω0值表示的濾波器響應(yīng)。

為了方便，我們?cè)谇蠼庠抵跋榷x一些術(shù)語(yǔ)。適用于設(shè)計(jì)的電容值范圍受到尺寸、價(jià)格和容差的限制。因此，我們要控制電容比，也希望控制DC增益，它等于1+Rf/Rg。所以我們定義：

圖3：定義本文公式中將使用的一些術(shù)語(yǔ)。

從公式（1）可以看出，真正起作用的是電阻Rf和Rg之比Rr，而不是它們的絕對(duì)值。因此，一旦我們指定Rr，就可以選擇數(shù)值大的Rf和Rg，以便使功耗最小，或者選擇數(shù)值小的Rf和Rg，以便使噪聲最小。如果我們還指定了C1和C2，則Cr也確定了。從這些值可以得出R1和R2：

圖4：用C2、Rr、Cr、Q和ω0計(jì)算R1和R2的值。有兩組電阻值。

可實(shí)現(xiàn)性對(duì)Rr和Cr有一些約束要求。為確保平方根項(xiàng)及電阻R1和R2是實(shí)數(shù)，需要：

圖5：所有濾波器的實(shí)現(xiàn)約束條件。

此外，從1/（2·Q）中減去平方根項(xiàng)的R2的表達(dá)式必須是正數(shù)，我們將其稱為減法根。另一個(gè)稱為加法根。所以，對(duì)于減法根，總約束是：

圖6：R2的減法根構(gòu)成的濾波器的實(shí)現(xiàn)約束條件。

公式（5）將R1和R2限制到減法根的一個(gè)小范圍的值。稍后我們會(huì)看到，我們希望避免使用減法根實(shí)現(xiàn)濾波器，因?yàn)閷?duì)于給定的Q、ω0、Cr和Rr，我們總是可以用加法根構(gòu)建不太敏感的濾波器。

過(guò)去的設(shè)計(jì)中都是計(jì)算Q相對(duì)于電阻和電容每個(gè)值變化的靈敏度。但這里采用的方法是計(jì)算在頻率ω0處濾波器響應(yīng)幅度的靈敏度，ω0是變化最大的頻率。這六個(gè)元件中每一個(gè)的靈敏度表達(dá)如下，其中Rr12=R2/R1：

圖7：諧振時(shí)濾波器響應(yīng)幅度對(duì)每個(gè)元件值的靈敏度。

找出靈敏度的平方和

下一步是找出這些靈敏度的平方和，這樣就可以得到盡可能小的值。結(jié)果（除以2）是：

圖8：諧振時(shí)濾波器對(duì)每個(gè)元件靈敏度的總和（除以2）。Ctol項(xiàng)是電容與電阻容差的比值。

請(qǐng)注意術(shù)語(yǔ)Ctol，這是電容容差與電阻容差的比值。例如，2.5％的電容容差和1％的電阻容差會(huì)得到2.5的Ctol值。在這種情況下，Ctol解釋了電容值的更大變化。

我們希望確定公式的參數(shù)并消除Rr12，它可以用Cr和Rr表示。此外，由公式（3）給出的R1和R2電阻對(duì)的兩個(gè)根的單獨(dú)表達(dá)式是很有用的。我們也借此機(jī)會(huì)切換到平方和的平方根，因?yàn)檫@與所有元件的總靈敏度成正比。最后，我們希望僅繪制元件值的可實(shí)現(xiàn)范圍。由于正在使用的圖形包不會(huì)在圖中畫出虛數(shù)值，因此我們將√（-1）分配給不可實(shí)現(xiàn)的濾波器：

圖9：諧振時(shí)濾波器響應(yīng)幅值的每個(gè)元件靈敏度的平方和（除以2）的根。它包括R2的加法和減法根表達(dá)式。R1和R2用Cr和Rr表示。如前所述，術(shù)語(yǔ)Ctol也被采用。

圖10顯示隨Rr變化的各種Cr值的濾波器的靈敏度。所示曲線的Q = 10和Ctol = 2.5，無(wú)論C2和ω0的絕對(duì)值如何，這些值都是有效的。實(shí)線是加法根靈敏度，虛線是減法根靈敏度。對(duì)于給定的Cr值，這兩個(gè)根的曲線顏色相同。

圖10：被兩部分濾波器分開(kāi)的總靈敏度曲線，其中Q = 10和Ctol = 2.5，隨著Rr變化，各種Cr值變化導(dǎo)致靈敏度變化。實(shí)曲線是加法根靈敏度，虛線是減法根靈敏度。對(duì)于給定的Cr值，這兩個(gè)根的曲線顏色相同。

從圖中可以清楚看出幾點(diǎn)。首先是給定Cr的加法根的最小靈敏度總是小于相應(yīng)的減法根的最小靈敏度。因此，我們不應(yīng)該使用減法根的元件值構(gòu)建濾波器。第二個(gè)觀察結(jié)果是，一般來(lái)說(shuō)，Cr = C2/C1的值越小，可以實(shí)現(xiàn)的靈敏度就越低（更好）。第三，直覺(jué)可能會(huì)告訴我們，最好的解決方案是使用最小的Rr值產(chǎn)生可實(shí)現(xiàn)的濾波器，但曲線顯示并非這樣。第四，底部的橙色水平實(shí)線是我們能達(dá)到的最好結(jié)果。它對(duì)應(yīng)于單位DC增益，Rf短路和/或Rg開(kāi)路，并對(duì)應(yīng)于Cr = .25·Q-2，即C1 = 4·Q2·C2。如果我們認(rèn)為使Cr值更小會(huì)進(jìn)一步降低靈敏度的話，那么直覺(jué)再一次失敗。當(dāng)我們將Cr設(shè)為.125·Q-2時(shí)，橙色水平實(shí)線之上的橙色水平虛線會(huì)告訴真相。

我一直無(wú)法找到Rr最佳值的閉合解——曲線的鞍點(diǎn)，即對(duì)給定的Q、ω0、Cr和Ctol，濾波器的總靈敏度最小的位置。不過(guò)我提供了一個(gè)Excel表，它可以精確地將這個(gè)值限定在0.1％以內(nèi)。

各種濾波器設(shè)計(jì)的蒙特卡羅分析

如果不對(duì)圖11和圖12中的各種濾波器設(shè)計(jì)進(jìn)行蒙特卡洛分析，本文就不算完整。響應(yīng)曲線以20dB的增量隔開(kāi)，以便看得更清楚，而不會(huì)相互混淆。表1給出了圖11曲線的元件值。這再次證明，對(duì)于元件靈敏度低的濾波器，減法根不是一個(gè)好的選擇，同樣電容也不是。我們還看到使用Rr = Rf/Rg的最優(yōu)值與較低和較高值進(jìn)行比較的可取性。利用Rf相對(duì)于Rg的最優(yōu)值，可以計(jì)算Rr。

圖11：各種濾波器設(shè)計(jì)的蒙特卡羅分析。

表1：圖11中曲線的元件值。

圖12：各種濾波器設(shè)計(jì)的蒙特卡洛分析，不同參數(shù)情況下的濾波器靈敏度存在差異，其中Q = 10，Ctol = 2.5，Cr = C2/C1比值分別為0.316、0.0316和0.00316。

圖12顯示了Q = 10，Ctol = 2.5，而Cr = C2/C1值分別為0.316、0.0316和0.00316時(shí)濾波器靈敏度的差異。這些已經(jīng)用Rr的最優(yōu)值計(jì)算出來(lái)了。表2列出了所有的濾波器元件值。

表2：所有的濾波器元件值。

一些猜測(cè)

我們只探討了Q = 10和Ctol = 2.5時(shí)的濾波器設(shè)計(jì)。這似乎是說(shuō)，設(shè)計(jì)中R1和R2的值相當(dāng)接近最佳Rr值。這個(gè)推論對(duì)于Q和Ctol的所有值都正確嗎？如果是這樣，即便我們使R1和R2相等并計(jì)算出結(jié)果Rr，靈敏度增加的可能也微乎其微。當(dāng)然，閉合公式適用于所有元件。不過(guò)，有了Excel表，目前的方法會(huì)得到最佳的靈敏度，而且很容易使用。

設(shè)計(jì)Sallen Key低通濾波器從指定Q和ω0開(kāi)始。Sallen Key濾波器諧振時(shí)使響應(yīng)靈敏度最小化至元件值的黃金標(biāo)準(zhǔn)是選擇單位DC增益，其中Rf是短路和/或Rg是開(kāi)路。這要求C1 = 4·Q2·C2?？梢赃x擇C2的值并計(jì)算C1。然后，R1和R2可以由公式（2）和（3）確定，其中R2應(yīng)該選擇加上而不是減去平方根。但對(duì)于高Q的情況，這可能并不總是一個(gè)理想的方法。在這些情況下，應(yīng)在C1/C2具有可接受的最大比值時(shí)才選擇C2。設(shè)計(jì)中我們還需要知道電容容差與電阻容差的比值Ctol。應(yīng)該為這些值找到最佳比Rr = Rf/Rg，使用前面提到的Excel表也許能找到。Excel表可以計(jì)算R1和R2，還可以選擇任意Rr值，為Rg和Rf，以及C1、C2、Q和ω0指定自己期望的值。然后，Excel表計(jì)算出R1和R2。

其它性能參數(shù)也可得到改善。使Rf||Rg = R1+R2，放大器偏置電流造成的失調(diào)將會(huì)最小。使C1||C2最大、Rf||Rg最小，元件阻抗和濾波噪聲將會(huì)降至最低。使C最小、Rf||Rg最大，功耗會(huì)降至最低。