編者按：數(shù)據(jù)科學(xué)家Jonny Brooks-Bartlett撰寫的零基礎(chǔ)概率論教程的第五篇，介紹概率論的核心法則（基本公理）。

這篇文章將介紹概率論的核心法則。如果你對概率論很陌生，我建議首先閱讀零基礎(chǔ)概率論入門的第一篇，熟悉概率論中的基本定義和記號。

概率法則（公理）

數(shù)學(xué)家探索數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域的時候，常常從一組定義可以做什么的規(guī)則開始。這有點像剛發(fā)明足球的時候定下規(guī)則“每對11人，手不能觸球，不能越位，等等”。一旦確立了規(guī)則，球員和球隊經(jīng)理便可以自由探索，創(chuàng)造新的球技和隊伍組合。

概率論（以及一般數(shù)學(xué)）沒什么兩樣。我們將這些規(guī)則稱為公理（axiom）。一旦確立了規(guī)則，數(shù)學(xué)家便興奮異常地探索新的定理和結(jié)果。你可以做任何你想做的，只要遵循公理。

讓我們查看下概率論的公理。

公理1

第一條法則表述為一個事件的概率大于等于零。事實上，我們可以進(jìn)一步地說，一個事件的概率在0和1之間（含）。

在數(shù)學(xué)上表達(dá)為：

“事件”指“某事發(fā)生了”。例如，我們可能談?wù)撁魈斓奶鞖?，事件是明天下雨了。明天下雨的概率可能?.5，數(shù)學(xué)上表達(dá)為：

我們可以組合結(jié)果為一個事件，比如說一個事件是明天下雨或下雪的結(jié)果。在這種方式下，事件實際上是一組結(jié)果。

公理2

這條法則表述為至少一種可能的結(jié)果發(fā)生的概率為1。讓我自由散漫一下，換種說法，如果你把所有可能結(jié)果的概率加起來，所得概率之和為1. 硬核數(shù)學(xué)家會抓住我的錯誤，但在我們遇到的大多數(shù)情況下，第二種說法是成立的。

讓我們以投擲6面骰為例。擲出骰子后，六個數(shù)字都有可能，骰子的點數(shù)必然是1、2、3、4、5、6其中之一。因此，我至少得到其中一種點數(shù)的概率是1. 概率等于1意味著我們確定（certain）。

我的第二種說法也是成立的。總共有6種可能性，擲出任何點數(shù)的概率是1/6. 因此，如果我們把擲出1、2、3、4、5或6點的概率加起來，我們得到的結(jié)果是1. 如下式所示：

P(die = 1) + P(die = 2) + P(die = 3) + P(die = 4) + P(die = 5) + P(die = 6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6 = 1.

把概率之和的每一項都寫出來太枯燥乏味了，特別是在有幾百種結(jié)果的情況下。所以數(shù)學(xué)家會用簡短的寫法：

那個長得很像“E”的大字母是希臘字母西格瑪（Σ），這個符號意味著相加，下標(biāo)和上標(biāo)分別表示從哪里開始，到哪里結(jié)束。所以上式表示“從i=1開始，一直到i=6結(jié)束”。

所以我們可以將陳述“所有可能結(jié)果的概率相加等于1”在數(shù)學(xué)上表示為：

有一個專門的術(shù)語可以代替“所有可能結(jié)果”——它稱為采樣空間。因此，6面骰的1、2、3、4、5、6點實際上是采樣空間。在數(shù)學(xué)上，采樣空間記為Ω. 所以我們也可以將上式寫成：

公理3

這條公理也許是讀起來最讓人疑惑的，但我在之前提到過的零基礎(chǔ)概率論入門的第一篇介紹概率互斥的時候已經(jīng)涉及這條公理。這里我將通過一個例子說明。

這條公理表示為如果兩事件互斥（即兩事件不可能同時發(fā)生），那么這兩個事件其中有一個發(fā)生的概率等于各個事件發(fā)生的（邊緣）概率之和。我早說過了，這讓人疑惑。讓我們嘗試通過第一篇中的一個例子來說明。

假設(shè)我們擲出一個均勻的6面骰，想要知道擲出5點或6點的概率。這兩個事件是互斥的，因為我們無法同時擲出5點和6點。因此擲出5點或6點的概率等于擲出5點的概率加上擲出6點的概率：1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

在數(shù)學(xué)上，這條公理可以表示為：

給定結(jié)果1和結(jié)果2互斥（不能同時發(fā)生），我們有

結(jié)語

我知道，相比之前的文章，這篇可能比較沉悶，但我覺得介紹這些基礎(chǔ)內(nèi)容很重要，理解更高級的概念需要這些基礎(chǔ)。