基于動平衡狀態(tài)理論的反饋線性化直接方法介紹

基于動平衡狀態(tài)理論的反饋線性化直接方法的基本思想是：首先根據(jù)對被控對象的性能要求，設(shè)計出具有希望動態(tài)特性的線性參考模型；然后將參考模型的狀態(tài)作為控制系統(tǒng)的動平衡狀態(tài)，再利用李亞普諾夫第二方法設(shè)計控制律使系統(tǒng)對動平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定。這樣被控系統(tǒng)的動態(tài)過程將收斂于參考模型給出的希望動態(tài)過程，從而使系統(tǒng)獲得預(yù)期的性能。

這種方法分為兩步：（1）按照希望的動態(tài)特性設(shè)計一滿足要求的參考系統(tǒng)，這里常用線性系統(tǒng)因為它較容易分析和設(shè)計。（2）以模型參考系統(tǒng)的狀態(tài)作為實際被控系統(tǒng)的被控動平衡狀態(tài)，利用Lyapunov函數(shù)直接方法設(shè)計控制律使系統(tǒng)對動平衡狀態(tài)漸進穩(wěn)定。這里我們設(shè)計線性的參考系統(tǒng)Q指數(shù)穩(wěn)定于原點，則這種方法的穩(wěn)定問題在二維坐標(biāo)系下的表示如圖1所示。

1、基于動平衡狀態(tài)理論的反饋線性化直接方法的討論

若讓式（3）、（4）和式（5）直接成立，則只能達(dá)到局部漸進穩(wěn)定。因此，我們?nèi)詰?yīng)用backstepping設(shè)計方法中的虛擬控制的概念來設(shè)計。

但是，此方法也只能在局部實現(xiàn)，這是因為：使用改進的方法是使M→0，而非M=0，所以有兩種情況，即M→O_和M→0+，而對于M→0+，就有可能使V（e）=-eTQe+2M大于零，此時仍需進一步討論。

因此現(xiàn)在的問題有如下幾個：

（1）使用改進的方法如何判別M的符號問題。

（2）u-a21x1-a22x2-a23x3=0與最后結(jié)果是否能相容值得驗證。

（3）求得的控制率結(jié)果中分母項有可能為零，因此可能會引起震蕩，此需要討論和驗證。

對于問題（1），我們可以這樣來實現(xiàn)：因為總體的設(shè)計是使得V（e）=-eTQe+2M《0，并且根據(jù)前面的假設(shè)當(dāng)t→∞時，有V（e）→0，增強的條件是前述的M≤0，減弱的條件是-eTQe+2M《0，即2M《-eTQe，因此，我們的設(shè)計可以這樣來進行：讓M→0的速度快于eTQe→0，如此選擇就能使原系統(tǒng)達(dá)到漸進穩(wěn)定。對于問題（2）和（3），我們將進行討論。

2、改進的基于動平衡狀態(tài)理論的反饋線性化直接方法

考慮如下的非線性系統(tǒng)：

由于Ad的所有特征值均具有負(fù)實部，因此可以找到正定矩陣P，使Q為一正定矩陣。若能選取控制向量ξ（x，xd，v，t），使M≤0，則V（e）《0。若能選擇ξ使M在所考慮的系統(tǒng)參數(shù)變化范圍內(nèi)非正，則可保證系統(tǒng)具有參數(shù)不確定時反饋線性化的魯棒性。下面分情況考慮。

明顯上述式（20）～（23）中任何一個等號均不能成立，再次引入一個Lyapunov函數(shù)來進行設(shè)計。此時我們僅以一種表達(dá)為例來介紹下面的設(shè)計過程。

現(xiàn)選擇第二種表達(dá)，即：當(dāng)［f（x，ξ，t）-Adx-Bdv］=-γe時，其中γ為一任意正數(shù)。

如果x3=x2d，則輸入是不可測的，即輸入無窮大，這在控制系統(tǒng)中是要避免的。但是，我們要注意的是分子亦是趨近于零的項，如果分子分母同時趨近零，那么我們的擔(dān)心將是不必要的，如果分子趨近于零的速度比分母快，那么就更不用擔(dān)心了。因此現(xiàn)在的問題轉(zhuǎn)化為分析A和B是否存在的問題。兩者的分子分母的解析式表達(dá)沒有非常明確的聯(lián)系，因為對于此在數(shù)學(xué)上暫時還沒有找到解決的辦法。但是可以在實驗中觀察到，即觀察分子分母趨于零的速度，速度快且持續(xù)保持在零的為相對的低階無窮小，在對某一類非線性系統(tǒng)設(shè)計時，如果分子是低階無窮小，則此設(shè)計有效，如果是分母，則設(shè)計無效。

3、設(shè)計與仿真

考慮如下的非線性系統(tǒng)：

使用改進的基于動平衡狀態(tài)的反饋線性化方法使以上系統(tǒng)達(dá)到全局漸進穩(wěn)定，設(shè)仿射非線性系統(tǒng)（34）中狀態(tài)x1，x2的動平衡狀態(tài)分別為x1，x2，它是下列線性系統(tǒng)的狀態(tài)：

現(xiàn)在設(shè)x1（0）=0.3，x2（0）=1，x3（0）=-1，進行仿真時因為式中分母部分為零，得不到仿真結(jié)果并有出錯提示為“division by zero”。因此去掉分式中分母部分進行仿真，其理由是因為設(shè)計的控制輸入結(jié)果和3（xs-x3d）兩項在t→∞時將為零，它們對于控制輸入只是起一個調(diào)節(jié)作用，此時的仿真結(jié)果為如圖2，3所示。

改變參數(shù)的值，設(shè)k1=0.1，k2=2，則仿真結(jié)果如圖4、5所示。

改變參數(shù)的值，設(shè)k1=2，k2=0.1，則無法得到滿意的結(jié)果，Matlab有提示為“Warning：Fail-ure at t=3.258456e+000．Unable to meet inte-gration tolerances without reducing the step sizebelow the smallest value allowed（1.157636e_014）at time t.”。其仿真后的圖像如圖6、7所示。

但是設(shè)k1=2，k2=3，并在分式中前面加一個系數(shù)5得仿真結(jié)果如圖8、9所示。

設(shè)k1=3，k2=3，仍存在系數(shù)，則仿真結(jié)果如圖10、11所示。

由以上各圖我們得到以下結(jié)果：當(dāng)k1=k2時，系統(tǒng)的狀態(tài)收斂情況最好；當(dāng)k1《k2時，系統(tǒng)的狀態(tài)x1將不能穩(wěn)定于零，而且誤差e1=x2-x2d將存在并且比較大；當(dāng)k1》k2時，仿真沒有結(jié)果；在分式

前面加一個大于1的系數(shù)，仍去掉分母，其收斂效果將更好。

4、結(jié) 論

本文對基于動平衡狀態(tài)理論的反饋線性化直接方法進行了討論、完善和補充，針對它在對仿射非線性系統(tǒng)進行設(shè)計時出現(xiàn)的問題，提出了改進的基于動平衡狀態(tài)理論的反饋線性化直接方法，它在形式和方法上對基于動平衡狀態(tài)理論的反饋線性化直接方法做了一定的改進，引用Backstepping設(shè)計方法虛擬控制的概念來對系統(tǒng)進行二次Lyapunov函數(shù)設(shè)計。

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