本文是離散信號(hào)的頻域分析（共5節(jié)）中的第5節(jié)——傅里葉變換的應(yīng)用的第一篇。

在開始學(xué)習(xí)之前，提醒大家，本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，需要用到前面DTFT、DFT以及FFT的知識(shí)。如果前面這些內(nèi)容沒有掌握的話，那就不具備繼續(xù)學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的條件。當(dāng)然，本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，可以加深對(duì)前面這幾個(gè)問題的深化理解。

本節(jié)內(nèi)容分為兩部分：5.1FFT分析信號(hào)頻譜；5.2FFT實(shí)現(xiàn)線性卷積。本文是第一部分：FFT分析信號(hào)頻譜。

5.1FFT分析信號(hào)頻譜

1. 用FFT實(shí)現(xiàn)頻譜分析的基本過程

我們知道，現(xiàn)實(shí)世界中的絕大多數(shù)物理量都是以連續(xù)變化的形式存在的，而做為離散傅里葉變換，只能處理有限長(zhǎng)的離散數(shù)據(jù)。所以對(duì)信號(hào)進(jìn)行FFT之前，必須首先將其進(jìn)行離散化處理并截取合適的長(zhǎng)度。

下圖為用FFT實(shí)現(xiàn)頻譜分析的基本過程。

下面我們?cè)敿?xì)來看具體每一步對(duì)信號(hào)做了什么樣的處理，我們重點(diǎn)關(guān)注這些處理對(duì)信號(hào)的頻譜特征有什么樣的影響。

2. 時(shí)域抽樣

第一步為時(shí)域抽樣，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過。其作用是將連續(xù)時(shí)間信號(hào)按照一定的抽樣間隔離散化，得到離散數(shù)據(jù)。時(shí)域抽樣包含兩個(gè)過程：

首先，將連續(xù)時(shí)間信號(hào)通過理想低通濾波器，該濾波器又稱為“抗混疊濾波器”，作用是濾除高于抽樣頻率一半的高頻分量，防止抽樣時(shí)發(fā)生頻譜混疊。

然后，對(duì)信號(hào)進(jìn)行抽樣。抽樣后得到離散時(shí)間信號(hào)x(n)，其頻譜，能否代表原來的連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜信息呢？

當(dāng)然能！因?yàn)橹灰獫M足抽樣定理，抽樣后的離散數(shù)值就可以完全代表原來連續(xù)時(shí)間信號(hào)的信息。但問題是，離散時(shí)間信號(hào)的頻譜，已經(jīng)是數(shù)字域頻率，攜帶的頻率信息，需要轉(zhuǎn)換為模擬頻率，如何轉(zhuǎn)換？

這個(gè)問題，本公號(hào)前面有文章專門論述，鏈接如下：

數(shù)字信號(hào)處理系列（離散信號(hào)的頻域分析之二）——數(shù)字域頻率與模擬角頻率

本文不再重復(fù)，只給出結(jié)論。

根據(jù)上圖的公式反推：

模擬角頻率 = 數(shù)字域頻率 * 抽樣頻率fs

3. 時(shí)域加窗

下面我們分析第二步——時(shí)域加窗。

從三個(gè)方面來看：第一，為什么要加窗？第二，怎樣實(shí)現(xiàn)加窗？第三，加窗有什么影響？

首先看，為什么要加窗？無他，因?yàn)閿?shù)據(jù)太長(zhǎng)太多，處理不了啊，臣妾做不到；或者是處理時(shí)間太長(zhǎng)，臣妾等不及啊。更有甚者，有時(shí)輸入信號(hào)是無限長(zhǎng)的，總不能等到世界末日再去處理吧？

然后看，怎樣實(shí)現(xiàn)加窗？

最簡(jiǎn)單加窗方式，就是將很長(zhǎng)很長(zhǎng)的數(shù)據(jù)，與矩形脈沖RN(n)相乘，就實(shí)現(xiàn)了截取n=0~N-1這N個(gè)點(diǎn)。RN(n)稱為“矩形窗”。

除了矩形窗，有沒有其他形式的窗呢？有，但這是后話，以后再講。

這里重點(diǎn)分析第三個(gè)問題——加窗有什么影響？

先看一般的信號(hào)，如下圖所示，頻譜為示意圖。根據(jù)“時(shí)域相乘，頻域卷積”，加窗后信號(hào)的頻譜，是原來的頻譜X(w)與矩形窗的頻譜W(w)做卷積，那么，卷積后的頻譜（也即加窗后的頻譜）是什么樣子呢？和很多因素有關(guān)（原始信號(hào)的頻譜、窗函數(shù)的頻譜、長(zhǎng)度等等）。從何處入手來分析呢？

我們知道，正弦信號(hào)是基本信號(hào)，因?yàn)閺?fù)雜信號(hào)可以看是一個(gè)個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)組合而成，所以下面首先分析正弦信號(hào)。

我們知道，無限長(zhǎng)正弦信號(hào)的頻譜為正負(fù)w0處的沖激，如下圖（a），矩形窗的頻譜，如下圖（b）。二者卷積后（也就是N點(diǎn)長(zhǎng)的正弦信號(hào)）的頻譜，如圖（c）。

比較圖（a）和圖（c），可以看到，加窗后信號(hào)的頻譜與加窗前相比，發(fā)生了哪些變化呢？變寬了，原來窄窄的一條（瘦成閃電）變成寬寬的胖子，而且出現(xiàn)起伏的尾巴。

用術(shù)語說，就是：

時(shí)域加窗，導(dǎo)致頻譜的擴(kuò)散——拖尾、變寬，稱為頻譜泄漏（Leakage）。

為什么變胖？是因?yàn)榫匦未昂瘮?shù)的頻譜胖（主瓣）。胖的程度，取決于N。N越小主瓣越寬，則越胖。所以，我們要想減少主瓣泄露，可以適當(dāng)增大N。

為什么出現(xiàn)尾巴？是因?yàn)榫匦未昂瘮?shù)的頻譜有起伏（旁瓣）。要想減小旁瓣泄露，就要降低窗函數(shù)旁瓣的幅度。

但是，我們知道，矩形窗函數(shù)，旁瓣幅度與主瓣幅度之比是一定的（-13dB左右），增大N并不能改變這一數(shù)值。那么，如何是好呢？

對(duì)數(shù)據(jù)加矩形窗是我們很自然的行為，因?yàn)樗桓淖兘厝〔糠中盘?hào)的取值。但是矩形窗在起點(diǎn)和終點(diǎn)都是不連續(xù)的，也就是說，數(shù)據(jù)是突然開始、突然結(jié)束的。從物理概念上很好解釋，這種時(shí)域上的突然變化，意味著頻域上存在高頻分量。如果抑制了這些高頻分量，就能夠降低旁瓣幅度。因此從這樣一個(gè)角度，直觀上就可以想到，窗函數(shù)的起始處和結(jié)束處越平坦，對(duì)旁瓣的抑制就應(yīng)該越好。關(guān)于窗函數(shù)的內(nèi)容，我們后面會(huì)專門學(xué)習(xí)。

前面分析了加窗對(duì)信號(hào)頻譜的影響，總結(jié)一句話：時(shí)域加窗，會(huì)導(dǎo)致頻譜泄露——頻譜展寬、拖尾。同時(shí)，我們必須認(rèn)識(shí)到，在進(jìn)行DFT運(yùn)算時(shí)，時(shí)域加窗是必須的，因此泄漏現(xiàn)象是離散傅里葉變換所固有的，無法消除，只能在計(jì)算量等容許的范圍內(nèi)，盡量抑制泄露現(xiàn)象。

4.頻域抽樣（DFT）

經(jīng)過前面兩步，數(shù)據(jù)離散化了，也是有限長(zhǎng)的了，準(zhǔn)備工作終于完成了，可以做DFT了。

DFT，也就是頻域抽樣。其實(shí)質(zhì)就是對(duì)信號(hào)v(n)的頻譜（DTFT）離散化，[0，2Π]區(qū)間上離散化成N個(gè)點(diǎn)，就是N點(diǎn)DFT。注意，這個(gè)N是指DFT的點(diǎn)數(shù)，而不是前文中的信號(hào)長(zhǎng)度。

v(n)的頻譜也就是上圖中的（c），但我們首先需要把圖（c）變一下。

為什么需要變一下呢？所有離散時(shí)間信號(hào)的頻譜，都是以2Π為周期的，圖（a）（b）（c）實(shí)際上畫出的是-Π~Π區(qū)間內(nèi)的圖形。為了和DFT的研究區(qū)間一致（[0，2Π]），我們把圖（c）變成[0，2Π]區(qū)間，也就是下圖（d）。

然后，把它以2Π/N為間隔離散化，得到的就是最后的結(jié)果V(k)。如下圖（e）所示。

理論分析講完了，最后出一個(gè)題。