布爾代數(shù)使用一組定律和規(guī)則來定義數(shù)字邏輯電路的操作

以及用于表示數(shù)字的邏輯符號“0”和“1”輸入或輸出，我們也可以將它們分別用作永久“開放”或“封閉”電路或接觸的常數(shù)。

已經(jīng)發(fā)明了一組規(guī)則或布爾代數(shù)表達式的法則來幫助減少執(zhí)行特定邏輯運算所需的邏輯門數(shù)量導致一系列函數(shù)或定理通常稱為布爾代數(shù)定律。

布爾代數(shù)是我們用來分析數(shù)字門和電路的數(shù)學。我們可以使用這些“布爾定律”來減少和簡化復雜的布爾表達式，以減少所需的邏輯門數(shù)。因此，布爾代數(shù)是一個基于邏輯的數(shù)學系統(tǒng)，它具有自己的一套規(guī)則或定律，用于定義和減少布爾表達式。

布爾代數(shù)中使用的變量只有兩個可能值中的一個，邏輯“0”和邏輯“1”，但表達式可以有無數(shù)個變量，所有變量都單獨標記以表示表達式的輸入，例如，變量A，B，C等，給出了A + B = C的邏輯表達式，但每個變量只能是0或1。

這些的例子布爾代數(shù)的布爾，規(guī)則和定理的各個定律在下表中給出。

布爾定律的真值表

Boolean Expression	描述	等效 切換電路	布爾代數(shù) 法律或規(guī)則
A + 1 = 1	A平行于 closed =“CLOSED”		Annulment
A + 0 = A	A與 open =“A”	>>	Identity
A. 1 = A	A與 關(guān)閉=“A”		標識
A。 0 = 0	A與 open =“OPEN”串聯(lián)		Annulment
A + A = A	A并行與 A =“A”		冪等
A。 A = A	A與 A =“A”串聯(lián)		冪等
NOT A = A	NOT NOT A （double negative）=“A”		雙重否定
A + A = 1	A與 A = “CLOSED”		補充
A。 A = 0	A系列與 NOT A =“OPEN”		補充
A + B = B + A	A并行B = B與A		交換
AB = BA	與B = B與A串聯(lián)		交換
A + B =A.B	將AND替換為OR		de Morgan's定理
AB = A + B	反轉(zhuǎn)并且用OR替換AND		de Morgan定理

布爾代數(shù)的基本定律與交換法有關(guān)，允許改變加法和乘法的位置，聯(lián)想法允許刪除加法和乘法的括號，以及分配允許表達式分解的定律與普通代數(shù)相同。

每個o f上面的布爾定律僅用一個或兩個變量給出，但由單一定律定義的變量數(shù)量不限于此，因為可以有無數(shù)個變量作為輸入表達。上面詳述的這些布爾定律可用于證明任何給定的布爾表達式以及簡化復雜的數(shù)字電路。

下面給出了各種布爾定律的簡要描述，其中 A 表示變量輸入。

布爾代數(shù)定律的描述

廢除法 - 術(shù)語 AND 與“0”等于0或 OR 與“1”等于1

A. 0 = 0 變量AND與0總是等于0

A + 1 = 1 變量OR 'ed with 1總是等于1

身份法 - 術(shù)語 OR 帶有“0”或 AND 帶“1”將始終等于該術(shù)語

A + 0 = A 與0進行OR運算的變量始終等于變量

A. 1 = A 變量AND與1總是等于變量

冪等律 - AND '或 OR 與自身的輸入等于輸入

A + A = A 變量與自身進行“或”運算始終等于變量

A. A = A 與自身進行AND運算的變量始終等于變量

補充法 - 術(shù)語 AND ，其補碼等于“0”，術(shù)語 OR '其補碼等于“1”

A. A = 0 變量與其補碼的AND'總是等于0

A + A = 1 與其補碼相關(guān)的變量OR總是等于1

交換法 - 兩個單獨術(shù)語的應(yīng)用順序并不重要

A. B = B. A 兩個變量AND'的順序沒有區(qū)別

A + B = B + A 訂單其中兩個變量是OR的沒有區(qū)別

雙重否定法律 - 反轉(zhuǎn)兩次的術(shù)語等于原始術(shù)語

A = A 變量的雙重補碼始終等于變量

de Morgan's Theorem - 有兩個”de Morgan's“規(guī)則或定理，

（1）兩個單獨的術(shù)語 NOR '在一起與兩個術(shù)語倒置（補語）和 AND '例如： A + B = A 。 B

（2）兩個單獨的術(shù)語 NAND '在一起是s ame作為兩個術(shù)語倒置（補語）和 OR '例如： AB = A + B

上面未詳述的布爾的其他代數(shù)定律包括：

分配法 - 該法允許表達式的乘法或分解。

A（B + C）= AB + AC （或分配法）

A +（BC）=（A + B）。（A + C）（和分配法）

吸收法 - 這項法律通過吸收類似的術(shù)語，可以將復雜的表達式簡化為更簡單的表達式。

A +（AB）= A （或吸收定律）

A（A + B）= A （和吸收定律）

聯(lián)想法 - 該法允許從表達式中刪除括號并重新組合變量。

A +（B + C）=（A + B）+ C = A + B + C（OR Associate Law）

A（BC）=（AB）C = A. B。 C（AND Associate Law）

布爾代數(shù)函數(shù)

使用上面的信息，簡單的2輸入AND，OR和NOT門可以用16種可能的函數(shù)表示，如下表所示。

2.

布爾代數(shù)的定律示例No1

使用上述定律，簡化以下表達式：（A + B）（A + C）

然后表達式：（A + B ）（A + C）可簡化為 A +（BC），如分配法。