原來處于平衡狀態(tài)的系統(tǒng)，在受到擾動作用后都會偏離原來的平衡狀態(tài)。所謂穩(wěn)定性，就是指系統(tǒng)在擾動作用消失后，經(jīng)過一段過渡過程后能否回復(fù)到原來的平衡狀態(tài)或足夠準(zhǔn)確地回復(fù)到原來的平衡狀態(tài)的性能。若系統(tǒng)能恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若干擾消失后系統(tǒng)不能恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，偏差越來越大，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

系統(tǒng)的穩(wěn)定性又分兩種情況：一是大范圍內(nèi)穩(wěn)定，即起始偏差可以很大，系統(tǒng)仍穩(wěn)定。另一種是小范圍內(nèi)穩(wěn)定，即起始偏差必須在一定限度內(nèi)系統(tǒng)才穩(wěn)定，超出了這個限定值則不穩(wěn)定。對于線性系統(tǒng)，如果在小范圍內(nèi)是穩(wěn)定的，則它一定也是在大范圍內(nèi)穩(wěn)定的。而對非線性系統(tǒng)，在小范圍內(nèi)穩(wěn)定，在大范圍內(nèi)就不一定是穩(wěn)定的。本章所研究的穩(wěn)定性問題，是線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因而是大范圍內(nèi)的穩(wěn)定性問題。

一般來說，系統(tǒng)的穩(wěn)定性表現(xiàn)為其時域響應(yīng)的收斂性，如果系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)都是收斂的，則此系統(tǒng)就被認(rèn)為是總體穩(wěn)定的。不難證明，對于線性定常系統(tǒng)，零輸入響應(yīng)穩(wěn)定性和零狀態(tài)響應(yīng)穩(wěn)定性的條件是一致的。所以線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性是通過系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)定性來表達(dá)的。

3.1.2 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性

線性系統(tǒng)的特性或狀態(tài)是由線性微分方程來描述的，而微分方程的解通常就是系統(tǒng)輸出量的時間表達(dá)式，它包含兩部分：穩(wěn)態(tài)分量（又稱強(qiáng)制分量）和瞬態(tài)分量（又稱自由分量）。穩(wěn)態(tài)分量對應(yīng)微分方程的特解，與外作用形式有關(guān)；瞬態(tài)分量對應(yīng)微分方程的通解，是系統(tǒng)齊次方程的解，它與系統(tǒng)本身的參數(shù)、結(jié)構(gòu)和初始條件有關(guān)，而與外作用形式無關(guān)。研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性，就是研究系統(tǒng)輸出量中的瞬態(tài)分量的運動形式。這種運動形式完全取決于系統(tǒng)的特征方程式，即齊次微分方程式，因為它正是研究擾動消除后輸出量運動形式的。

單輸入單輸出線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一般表示為：

系統(tǒng)的特征方程式為

顯然，它是由系統(tǒng)本身的參數(shù)和結(jié)構(gòu)所決定的。

3.1.3 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

從上節(jié)的例子可以看出，線性系統(tǒng)穩(wěn)定與否完全取決于其微分方程的特征方程根。如果特征方程的全部根都是負(fù)實數(shù)或?qū)嵅繛樨?fù)的復(fù)數(shù)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果特征方程的各根中即使只有一個根是正實數(shù)或只有一對根是實部為正的復(fù)數(shù)，則微分方程的解中就會出現(xiàn)發(fā)散項。

由此可得出如下結(jié)論：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是它的特征方程式的所有根均為負(fù)數(shù)或具有負(fù)的實數(shù)部分；或者說，特征方程式的所有根均在復(fù)數(shù)平面的左半部分。由于系統(tǒng)特征方程式的根就是系統(tǒng)的極點，所以又可以說，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的極點均在S平面的左半部分。

3.1.4 勞斯-赫爾維茨（Routh-Hurwitz）穩(wěn)定判據(jù)

判別系統(tǒng)穩(wěn)定性最基本的方法是根據(jù)特征方程式的根的性質(zhì)來判定。但求解高于三階的特征方程式相當(dāng)復(fù)雜和困難。所以在實際應(yīng)用中提出了各種工程方法，它們無需求特征根，但都說明了特征根在復(fù)平面上的分布情況，從而判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。本節(jié)主要介紹代數(shù)判據(jù)。

（一） 系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步判別

設(shè)已知控制系統(tǒng)的特征方程

式中所有系數(shù)均為實數(shù)，且a0>0

系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是上述特征方程式所有系數(shù)均為正數(shù)。可簡單證明如下：

將特征方程寫成用特征根表達(dá)的形式

（3-1）

假如所有特征根均在S平面的左半部，即-σi<0，-αk<0，則式（3-1）中的σi<0，αk<0 （i=1，…，q；k=1，…，l；q+2l=n），若把式（3-1）的乘積展開，s多項式的各項系數(shù)必然均大于零。

根據(jù)這一原則，在判別系統(tǒng)穩(wěn)定性時，可事先檢查一下系統(tǒng)特征方程式的系數(shù)是否均為正數(shù)。如果有任何一項系數(shù)為負(fù)數(shù)或等于零（即缺項），則系統(tǒng)是不穩(wěn)定或臨界穩(wěn)定的。假如只是判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，到此就不必作進(jìn)一步的判別了。如果系數(shù)均為正數(shù)，對二階系統(tǒng)來說肯定是穩(wěn)定的（必要且充分），但對二階以上的系統(tǒng)，還要作進(jìn)一步的判別。

（二） 勞斯判據(jù)（Routh）

將系統(tǒng)的特征方程寫成如下標(biāo)準(zhǔn)形式

并將各系數(shù)組成如下排列的勞斯表：

表中的有關(guān)系數(shù)為

………………………

系數(shù)bi的計算一直進(jìn)行到其余的b值全部等于零為止。

………………………

這一計算過程一直進(jìn)行到n行為止。為了簡化數(shù)值運算，可以用一個正整數(shù)去除或乘某一行的各項，這時并不改變穩(wěn)定性的結(jié)論。

列出了勞斯表以后，可能出現(xiàn)以下幾種情況。

1．第一列所有系數(shù)均不為零的情況，這時，勞斯判據(jù)指出，系統(tǒng)極點實部為正實數(shù)根的數(shù)目等于勞斯表中第一列的系數(shù)符號改變的次數(shù)。系統(tǒng)極點全部在復(fù)平面的左半平面的充分必要條件是方程的各項系數(shù)全部為正值，并且勞斯表的第一列都具有正號。

例3-1 三階系統(tǒng)的特征方程為

D(s)= =0

列出勞斯表

s3	a0	a2
s2	a1	a3
s1		?
s0	a3	?

系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是

a₀>0，a₁>0，a₂>0，a₃>0，a₁a₂-a₀a₃>0

例3-2 四階系統(tǒng)特征方程為

D(s)= =0

列出勞斯表

s4	a0	a2	a4
s3	a1	a3	0
s2		a4	?
s1		?	?
s0	a4	?	?

四階系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是各項系數(shù)為正值，并且

a1a2-a0a3>0，a3(a1a2-a0a3)-a1²a4>0

例3-3 設(shè)已知系統(tǒng)的特征方程為

D(s)= =0

列出勞斯表

由上表可以看出，第一列各數(shù)值的符號改變了兩次，由+2變成-1，又由-1改變成+9，因此該系統(tǒng)有兩個正實部的極點，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

2．某行第一列的系數(shù)等于零，而其余項中某些項不等于零的情況。在計算勞斯表中各元素的數(shù)值時，如果某行的第一列的數(shù)值等于零，而其余的項中某些項不等于零，那么可以用一有限小的數(shù)值ε來代替為零的那一項，然后按照通常方法計算陣列中其余各項。如果零（ε）上面的系數(shù)符號與零（ε）下面的系數(shù)符號相反，表明這里有一個符號變化。

例3-4 下列特征方程 =0

勞斯表

現(xiàn)在考察第一列中各項數(shù)值。當(dāng)ε趨近于零時，2-2/_ε 的值是一很大的負(fù)值，因此可以認(rèn)為第一列中的各項數(shù)值的符號改變了兩次。按勞斯判據(jù)，該系統(tǒng)有兩個極點具有正實部，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

3．某行所有各項系數(shù)均為零的情況，如果勞斯表中某一行的各項均為零，或只有等于零的一項，這表示在s平面內(nèi)存在一些大小相等符號相反的實極點和（或）一些共軛虛數(shù)極點。為了寫出下面各行，將不為零的最后一行的各項組成一個方程，這個方程叫作輔助方程，式中s均為偶次。由該方程對s求導(dǎo)數(shù)，用求導(dǎo)得到的各項系數(shù)來代替為零的各項，然后繼續(xù)按照勞斯表的列寫方法，寫出以下的各行。至于這些根，可以通過解輔助方程得到。但是當(dāng)一行中的第一列的系數(shù)為零，而且沒有其它項時，可以像情況2所述那樣，用ε代替為零的一項，然后按通常方法計算陣列中其余各項。

例3-5 已知系統(tǒng)的特征方程為
D(s)= =0

勞斯表中的s6~s3各項為

由上表看出，s3行的各項全為零。為了求出s3~ s0各項，將s4行的各項組成輔助方程：

A(s)=

將輔助方程A(s)對s求導(dǎo)數(shù)，得

用上式中的各項系數(shù)作為s3行的各項系數(shù)，并計算以下各行的各項系數(shù)，得勞斯表為

s6

從上表的第一列可以看出，各項符號沒有改變，因此可以確定在右半平面沒有極點。另外，由于s³行的各項皆為零，這表示有共軛虛數(shù)極點。這些極點可由輔助方程求出。

本例中的輔助方程是 =0

由此求得大小相等符號相反的虛數(shù)極點為 _,

（三） 赫爾維茨判據(jù)（Hurwitz）

分析6階以下系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，還可以應(yīng)用赫爾維茨判據(jù)。將系統(tǒng)的特征方程寫成如下標(biāo)準(zhǔn)形式

現(xiàn)以它的各項系數(shù)寫出如下之行列式：

行列式中，對角線上各元為特征方程中自第二項開始的各項系數(shù)。每行以對角線上各元為準(zhǔn)，寫對角線左方各元時，系數(shù)a的腳標(biāo)遞增；寫對角線右方各元時，系數(shù)a的腳標(biāo)遞減。當(dāng)寫到在特征方程中不存在系數(shù)時，則以零來代替。

赫爾維茨判據(jù)描述如下：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件在a0>0的情況下是，上述各行列式的各階主子或均大于零，即對穩(wěn)定系統(tǒng)來說要求

赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)雖然在形式上與勞斯判據(jù)不同，但實際結(jié)論是相同的。

例3-6 三階系統(tǒng)的特征方程為D(s)= =0

列出系數(shù)行列式

赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)指出，該三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是：

△1=a1>0

=a1a2-a0a3>0

=a3(a1a2-a0a3)>0

或者寫成系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：

a0>0，a1>0，a2>0，a3>0，a1a2-a0a3>0

又如四階系統(tǒng)特征方程為

D(s)= =0

系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：

a1>0

=a1a2-a0a3>0

=a3(a1a2-a0a3)- a4>0

=a4[a3(a1a2-a0a3)- a4]>0

或者寫成四階系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：

a0>0，a1>0，a2>0，a3>0，a1a2-a0a3>0，

a1a2-a0a3>0，a3(a1a2-a0a3)- a4>0

以上得出的結(jié)果與前述勞斯判據(jù)所得的三階和四階系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件完全一樣。

應(yīng)用代數(shù)判據(jù)不僅可以判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，還可以用來分析系統(tǒng)參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，從而給出使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)范圍。

例3-7 設(shè)反饋控制系統(tǒng)如圖3-1所示，求滿足穩(wěn)定要求時K的臨界值。

解 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)是

其特征方程為

D(s)=s(s+1)(s+5)+K=0

或 =0

列出勞斯表

s3	1	5
s2	6	K
s1		?
s0	K	?

按勞斯判據(jù)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，其第一列應(yīng)為正數(shù)，即

K>0，30-K>0

則有 0

從而得出滿足穩(wěn)定的臨界值Kc=30。

例3-8 已知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

求臨界放大系數(shù)Kc及其與參量T1、T2及T3的關(guān)系。

解 系統(tǒng)的特征方程為

D(s)=T1T2T3s³+(T1T2+T1T3+T2T3)s²+(T1+T2+T3)s+1+K=0

根據(jù)勞斯判據(jù)，穩(wěn)定的充分必要條件是：特征方程的各項系數(shù)均大于零，并且a1a2-a0a3>0。現(xiàn)在系統(tǒng)的時間常數(shù)及放大系數(shù)均為正，所以滿足各項系數(shù)均大于零的條件。將各項系數(shù)代入a1a2-a0a3>0中，得

(T1+T2+T3)(T1T2+T1T3+T2T3)-T1T2T3(1+K)>0

或 1+K<(T1+T2+T3)( + + )

從而得臨界放大系數(shù)

Kc=(T1+T2+T3)( + + )-1

由此式看出，T1、T2、T3中只要有一個足夠小，那么Kc就可以增大。決定Kc大小的，實際上并不是各時間常數(shù)的絕對值，而是其相對值，即取決于各時間常數(shù)的比值。將上式變換成

Kc=2+ + + + + +

還可以求出開環(huán)增益臨界值Kc的極小值Kcmin與參量T1、T2及T3的關(guān)系。為此，先求出Kc對T1、T2及T3的偏導(dǎo)并令其為零。

= + - - =0

= + - - =0

= + - - =0

整理以上各式，即得

(T2+T3)( -T2T3)=0

(T1+T3)( -T1T3)=0

(T1+T2)( -T1T2)=0

由此可見，T1、T2及T3必須同時滿足以上三式，Kc才有極值。又因為以上三式的形式是一樣的，所以能夠看出，只有

T1=T2=T3=T

時，Kc才有極值。為進(jìn)一步確定極值是極大值抑或極小值，可從Kc對T的二階偏導(dǎo)來判斷。由于

= >0

故知極值為極小而非極大。

將T1=T2=T3=T的關(guān)系代入到Kc中，則有

Kcmin=8

這個結(jié)論表明，由三個非周期環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的反饋控制系統(tǒng)，當(dāng)三個非周期環(huán)節(jié)的時間相等時，系統(tǒng)的臨界開環(huán)增益最低。

若取T1=10T2，T2=T3，則可求得Kc=24.2。時間常數(shù)的數(shù)值錯開得愈多，則Kc可以提高得愈多。