6.3.1 超前校正 用頻率法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行超前校正的基本原理是:通過(guò)所加的校正裝置的相位超前特性來(lái)增大系統(tǒng)的相位裕量,改變系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性,并要求校正網(wǎng)絡(luò)最大的相位超前角 φm出現(xiàn)在系統(tǒng)新的剪切頻率處,使校正后系統(tǒng)具有如下特點(diǎn):低頻段的增益滿(mǎn)足穩(wěn)態(tài)精度的要求;中頻段對(duì)數(shù)幅頻特性的斜率為-20db/dec ,并具有較寬的頻帶,使系統(tǒng)具有滿(mǎn)意的動(dòng)態(tài)性能;高頻段要求幅值迅速衰減,以減少噪聲的影響。
用頻率法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行串聯(lián)超前校正的一般步驟可分為:
1)根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差的要求,確定系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益K,并據(jù)此畫(huà)出未校正系統(tǒng)的伯德圖,并測(cè)出其相位裕量γ1。 2)由期望的相位裕量值γ ,計(jì)算超前校正裝置應(yīng)提供的相位超前量 φ,即
式中的ε是用于補(bǔ)償因超前校正裝置的引入,使系統(tǒng)的剪切頻率增大而導(dǎo)致未校正系統(tǒng)相角遲后量的增加。ε值可以這樣估計(jì)的:如果未校正系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性在剪切頻率處的斜率為-40db/dec ,一般取ε=5°-10° ;如果該頻段的斜率為 -60db/dec ,則取ε=15°-20°。 3)根據(jù)所確定的最大相位超前角φm ,按式(6—8)算出相應(yīng)的 α值,即
4)計(jì)算校正裝置在ωm處的幅值10lg1/α (參見(jiàn)圖6—5)。由未校正系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性圖,求得其幅值為-10lg1/α 處的頻率,則該頻率ωm就是校正后系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)剪切頻率ωm,即ωc=ωm 。
5)確定校正網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)折頻率ω1 和ω2
? |
![](/article/UploadPic/2009-7/2009727143158579.gif) |
,![](/article/UploadPic/2009-7/2009727143158315.gif) |
6)畫(huà)出校正后系統(tǒng)的伯德圖,并驗(yàn)算相位裕量是否滿(mǎn)足要求?如果不滿(mǎn)足,則需增大ε值,從步驟3)開(kāi)始重新進(jìn)行計(jì)算,直到滿(mǎn)足要求。
例 6—1 設(shè)一單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為:![](/article/UploadPic/2009-7/2009727143158880.gif)
設(shè)計(jì)一超前校正裝置,使校正后系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù) 等于 ,相位裕量γ不小于 ,增益裕量 不小于 .
解:(1)根據(jù)對(duì)靜態(tài)速度誤差系數(shù)的要求,確定系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益K。
,
當(dāng) 時(shí),未校正系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為
![](/article/UploadPic/2009-7/2009727143159809.gif)
繪制未校正系統(tǒng)的伯德圖,如圖6—6中的虛線(xiàn)所示。由該圖或用Matlab中的margin命令,可得未校正系統(tǒng)的幅值裕量為無(wú)窮大,相位裕量約為 。
(2)根據(jù)相位裕量的要求確定超前校正網(wǎng)絡(luò)的相位超前角:
![](/article/UploadPic/2009-7/2009727143159625.gif)
(3)由式(6—8)求得:![](/article/UploadPic/2009-7/2009727143159253.gif)
(4)超前校正裝置在 處的幅值為: ![](/article/UploadPic/2009-7/2009727143159744.gif)
,在未校正系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅值對(duì)應(yīng)的頻率 ,這一頻率即為校正后系統(tǒng)的剪切頻率 。
(5)確定超前校正網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)折頻率 ,并確定超前裝置的傳遞函數(shù)。
由 ,則 ,
,于是求得超前校正網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為
![](/article/UploadPic/2009-7/2009727143159358.gif)
為補(bǔ)償因超前校正網(wǎng)絡(luò)的引入而造成系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益的衰減,必須使附加放大器的放大倍數(shù)為 .![](/article/UploadPic/2009-7/2009727143159137.gif)
(6)校正后系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為:
![](/article/UploadPic/2009-7/2009727143159796.gif)
對(duì)應(yīng)的伯德圖如圖6—15中的細(xì)實(shí)線(xiàn)所示。由該圖可見(jiàn),校正后系統(tǒng)的相位裕量γ為 ,增益裕量為 ,,滿(mǎn)足設(shè)計(jì)的要求。
通過(guò)上例可以看出,串聯(lián)超前校正有如下特點(diǎn);
1)這種校正主要對(duì)未校正系統(tǒng)中頻段的頻率特性進(jìn)行校正,使校正后中頻段幅值的斜率為-20db/dec,且有足夠大的相位裕量。
2)超前校正會(huì)使系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的速度變快。由例6—1可知,校正后系統(tǒng)的剪切頻率由未校正前的6.3增大到9。這表示校正后系統(tǒng)的頻帶變寬,瞬態(tài)響應(yīng)的速度變快;但系統(tǒng)抗高頻噪聲的能力也變差。
3)雖然超前校正一般能較有效地改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能,但當(dāng)未校正系統(tǒng)的相頻特性曲線(xiàn)在剪切頻率ωc附近急劇地下降時(shí),若用單級(jí)的超前校正網(wǎng)絡(luò)去校正,收效不大。因?yàn)樾U笙到y(tǒng)的剪切頻率向高頻段移動(dòng)。在新的剪切頻率處,由于未校正系統(tǒng)的相角遲后量過(guò)大,因而用單級(jí)的超前校正網(wǎng)絡(luò)難于獲得較大的相位裕量。此時(shí)可采用多級(jí)串聯(lián)校正。
6.3.2 遲后校正 根據(jù)遲后校正網(wǎng)絡(luò)具有低通濾波器的特性,因而當(dāng)它與系統(tǒng)的不可變部分Gc(s)串聯(lián)時(shí),它對(duì)頻率特性的低頻段影響甚微,但會(huì)使系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的中頻和高頻段增益降低,剪切頻率ωc減小,從而有可能使系統(tǒng)獲得足夠大的相位裕量。由此可見(jiàn),遲后校正在一定的條件下,也能使系統(tǒng)同時(shí)滿(mǎn)足動(dòng)態(tài)和靜態(tài)性能的要求。
不難看出,遲后校正的不足之處是:校正后系統(tǒng)的剪切頻率ωc會(huì)減小,頻帶變窄,瞬態(tài)響應(yīng)速度變慢;同時(shí),在剪切頻率ωc處,遲后校正網(wǎng)絡(luò)會(huì)產(chǎn)生一定的相角遲后量。為此,應(yīng)盡可能地減少遲后角。理論上可選取 的兩個(gè)轉(zhuǎn)折頻率ω1 、ω2比 ωc越小越好,但考慮到物理實(shí)現(xiàn)上的可行性,一般取ω2=1/T=ωc/5 ~ωc/10為宜。
根據(jù)上述分析,用頻率法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行遲后校正的一般步驟為:
1)根據(jù)給定靜態(tài)誤差系數(shù)的要求,計(jì)算系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益K。并畫(huà)出未校正系統(tǒng)的伯德圖,求出相應(yīng)的相位裕量和增益裕量。
2)在已作出的相頻曲線(xiàn)上尋找一個(gè)頻率點(diǎn),要求在該點(diǎn)處的開(kāi)環(huán)頻率特性的相角為:φ=-180°+γ+ε
以這一頻率作為校正后系統(tǒng)的剪切頻率ωc 。上式中,γ為系統(tǒng)所要求的相位裕量,ε是補(bǔ)償因遲后網(wǎng)絡(luò)的引入而在剪切頻率ωc處產(chǎn)生的相位遲后量,工程上可取 ε=5°-10°。
3)設(shè)未校正系統(tǒng)在處ωc的幅值等于20lgβ,據(jù)此確定遲后網(wǎng)絡(luò)的β值。據(jù)此可保證在剪切頻率ωc處,校正后開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的幅值為0。
4)選擇遲后校正網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率ω2=1/T=ωc/5 ~ωc/10,則另一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率為ω1=1/βT 。
5)畫(huà)出校正后系統(tǒng)的伯德圖,并求出校正后系統(tǒng)的相位裕量。校核設(shè)計(jì)指標(biāo),如果不滿(mǎn)足要求,則可通過(guò)改變T值,重新設(shè)計(jì)遲后校正網(wǎng)絡(luò)。
例6—2 設(shè)一單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為![](/article/UploadPic/2009-7/200972714320235.gif)
要求設(shè)計(jì)一串聯(lián)遲后校正裝置,使系統(tǒng)具有下列的性能指標(biāo):靜態(tài)速度誤差系數(shù) ;相位裕量γ不低于 ;增益裕量不小于10dB。
解:(1)調(diào)整開(kāi)環(huán)增益K,使之滿(mǎn)足靜態(tài)速度誤差系數(shù)的要求。
![](/article/UploadPic/2009-7/200972714320864.gif)
增益調(diào)整后系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為:
![](/article/UploadPic/2009-7/200972714320721.gif)
相應(yīng)的伯德圖如圖6—16中的虛線(xiàn)所示。由該圖可知,未校正系統(tǒng)的相位裕量約等于 ,或使用Matlab中的margin函數(shù),可得到校正前的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。
(2)在作出的相頻特性曲線(xiàn)上,根據(jù)下式確定相角
![](/article/UploadPic/2009-7/200972714320716.gif)
對(duì)應(yīng)于這個(gè)φ角的頻率 ,并選它作為校正后系統(tǒng)的剪切頻率 。
(3)計(jì)算 。由于未校正系統(tǒng)在 處的幅值等于20dB,即 ,故β=10。
(4)取 ,則 。這樣,遲后校正網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為:![](/article/UploadPic/2009-7/200972714320777.gif)
(5)校正后系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為
![](/article/UploadPic/2009-7/200972714320706.gif)
對(duì)應(yīng)的伯德圖如圖6—16中的實(shí)線(xiàn)所示。由圖或由Matlab中的margin函數(shù)可知,校正后系統(tǒng)的相位裕量約為 ,增益裕量約等于14dB,滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求。
6.3.3 遲后-超前校正 如果未校正系統(tǒng)為不穩(wěn)定,或?qū)πU笙到y(tǒng)的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)性能均有較高的要求時(shí),只采用上述的超前校正或遲后校正,難于達(dá)到預(yù)期的校正效果。此時(shí),宜對(duì)系統(tǒng)采用串聯(lián)遲后—超前校正。
應(yīng)用頻率法設(shè)計(jì)遲后-超前校正裝置,即利用校正裝置的超前部分來(lái)增大系統(tǒng)的相位裕量,以改善其動(dòng)態(tài)性能,但因加大了帶寬,易受高頻噪聲的影響,降低了系統(tǒng)的抗干擾能力;利用它的遲后部分來(lái)改善系統(tǒng)的靜態(tài)性能,但會(huì)惡化系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能,對(duì)系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性不利。因此采用這種校正方式,應(yīng)合理應(yīng)用遲后和超前校正各自的優(yōu)點(diǎn),克服它們各自的弱點(diǎn),經(jīng)多次試探才能成功。
例6—3 設(shè)一單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為:
![](/article/UploadPic/2009-7/200972714321348.gif)
要求校正后系統(tǒng)具有下列的性能指標(biāo):相位裕量 ;增益裕量 ;靜態(tài)速度誤差系數(shù) 。。試設(shè)計(jì)一遲后—超前校正裝置。
解:與超前校正和遲后校正相似,遲后—超前校正可按如下步驟進(jìn)行:
(1)求取開(kāi)環(huán)增益并作出伯德圖。其根據(jù)對(duì) 的要求,系統(tǒng)的增益K由
![](/article/UploadPic/2009-7/200972714321707.gif)
求得K=10。
未校正系統(tǒng)的伯德圖如圖6—17中的虛線(xiàn)所示。由圖可得到系統(tǒng)相位裕量等于 ,表明原系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。在這種情況下,如果采用超前校正,由于系統(tǒng)的剪切頻率的增大使原系統(tǒng)產(chǎn)生的遲后相位的增加比超前校正裝置提供的相位增加還快,這樣無(wú)法起到校正的作用,同時(shí)將增大剪切頻率,不利抑制噪聲。
(2)確定校正后系統(tǒng)的剪切頻率 。在未對(duì)系統(tǒng)的快速性提出要求時(shí),可選擇相頻特性上相角等于 的頻率作為校正后系統(tǒng)的剪切頻率 。在本題中,由未校正系統(tǒng)的相頻曲線(xiàn)可見(jiàn),當(dāng) 時(shí), 。選擇該頻率值作為校正后系統(tǒng)的剪切頻率 ,顯然較為合理。因?yàn)檫t后—超前校正網(wǎng)絡(luò)在該頻率處產(chǎn)生 的相位超前角是完全能實(shí)現(xiàn)的,并且 也不算小,使校正后的系統(tǒng)仍具有一定的響應(yīng)速度。
(3)確定遲后—超前網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)折頻率。首先確定遲后部分的轉(zhuǎn)折頻率,令它的一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率 ,選取β=10,則另一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率 ,于是求得校正裝置遲后部分的傳遞函數(shù)為
![](/article/UploadPic/2009-7/200972714322967.gif)
它在剪切頻率 處產(chǎn)生約 的相位遲后。接著確定超前部分的轉(zhuǎn)折頻率:由圖6—29可見(jiàn),未校正系統(tǒng)在 處的幅值為13dB,欲使該頻率成為校正后系統(tǒng)的剪切頻率,必須使該頻率點(diǎn)的開(kāi)環(huán)幅值為0dB,即要求遲后—超前網(wǎng)絡(luò)在 處產(chǎn)生-13dB的幅值。據(jù)此,通過(guò)點(diǎn) , 作一條斜率為 的直線(xiàn),該直線(xiàn)與0dB線(xiàn)與-20dB的水平線(xiàn)的交點(diǎn),它們分別為 , ,就是要求的超前部分的轉(zhuǎn)折頻率。因此超
前部分的傳遞函數(shù)為:![](/article/UploadPic/2009-7/200972714322107.gif) ![](/article/UploadPic/2009-7/200972714322774.gif)
將校正網(wǎng)絡(luò)的遲后部分和超前部分的傳遞函數(shù)組合在一起,就得到遲后—超前校正網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù):
![](/article/UploadPic/2009-7/200972714322139.gif)
(4)校正后系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為:
![](/article/UploadPic/2009-7/200972714322906.gif)
相應(yīng)的伯德圖如圖6—17中的實(shí)線(xiàn)所示。校正后系統(tǒng)的相位裕量 ,增益裕量13.6db,靜態(tài)速度誤差系數(shù) ,所要求的性能指標(biāo)均已滿(mǎn)足。
前面我們介紹了基于頻率法的串聯(lián)控制器的順向設(shè)計(jì)方法,即依據(jù)指標(biāo)或設(shè)計(jì)要求,首先選擇三類(lèi)控制器中的一種方式,然后按設(shè)計(jì)規(guī)則進(jìn)行設(shè)計(jì)。事實(shí)上,若能根據(jù)指標(biāo)設(shè)計(jì)出校正后的期望頻率特性,則根據(jù):G(jω)=Gc(jω)G0(jω) ,由校正前后的幅頻特性和相頻,亦可得到待定的控制器。此法對(duì)于最小相位系統(tǒng)尤其有效。
6.3.4基于頻率法的Matlab串聯(lián)校正設(shè)計(jì) 根據(jù)上面對(duì)三類(lèi)控制器頻率法設(shè)計(jì)思路的介紹,可總結(jié)出一般性的設(shè)計(jì)步驟:
(1)根據(jù)靜態(tài)性能指標(biāo),設(shè)計(jì)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的增益,然后求出校正前系統(tǒng)的幅值裕量和相位裕量,并與設(shè)計(jì)要求比較;
(2)確定校正后期望的剪切頻率ωc,具體值的選取與選擇的校正方式(相位超前、遲后或遲后-超前等)相適應(yīng);
(3)根據(jù)待設(shè)計(jì)的校正裝置的形式和轉(zhuǎn)折頻率,計(jì)算有關(guān)參數(shù),進(jìn)而確定校正裝置;
(4)得出校正后系統(tǒng),并校驗(yàn)是否滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求。不滿(mǎn)足,則從(2)重新開(kāi)始。
但畢竟,控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)是一項(xiàng)十分麻煩的工作,并需要大量的經(jīng)驗(yàn),為此,可借助飛速發(fā)展的計(jì)算機(jī)仿真技術(shù),簡(jiǎn)化控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)工作。
本節(jié)介紹頻率法的MATLAB設(shè)計(jì)方法,主要利用伯德(Bode)圖進(jìn)行系統(tǒng)的設(shè)計(jì),常用的函數(shù)有:
Bode--—伯德圖作圖命令;
Margin—求取系統(tǒng)的幅值裕度和相位裕度;
Bode_asymp—伯德圖幅頻特性的漸近線(xiàn)(自編函數(shù));
Semilogx—半對(duì)數(shù)作圖函數(shù);
Logspace—用于在某個(gè)區(qū)域中產(chǎn)生若干頻點(diǎn);
Nicols、Mgrid—用于Nicols曲線(xiàn)和等M圓、等N圓的作圖命令;
Nyquist—Nyquist曲線(xiàn)作圖命令;
Phase、Abs—求取復(fù)數(shù)行矢量的相角和幅值函數(shù)。 這些函數(shù)或命令大部分在第五章或第九章作過(guò)說(shuō)明。
結(jié)合例6-4介紹采用Matlab進(jìn)行設(shè)計(jì)的具體步驟,設(shè)計(jì)一個(gè)補(bǔ)償器
例6-4 對(duì)一給定的對(duì)象環(huán)節(jié):![](/article/UploadPic/2009-7/200972714322979.gif)
設(shè)計(jì)一個(gè)補(bǔ)償器,使校正后系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù) ,剪切頻率大于60,相位裕量 。
解:(1)首先根據(jù)對(duì)靜態(tài)速度誤差系數(shù)的要求,確定系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益K=100。
(2)寫(xiě)出系統(tǒng)傳遞函數(shù)G0并計(jì)算其幅值裕量和相位裕量:
G0=tf(100,conv([1,0],[0.04,1]));
[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(G0);[Gm,Pm,Wcg,Wcp]
ans =
Inf 28.0202 NaN 46.9782
w=logspace(-1,3);[m,p]=bode(G0,w);
subplot(211),semilogx(w,20*log10(m(:)))
subplot(212),semilogx(w,p(:))
可以看到,未校正環(huán)節(jié)的幅值裕量無(wú)窮大,相位裕量 ,剪切頻率 ,不滿(mǎn)足要求。其伯德圖如圖6-18a中的虛線(xiàn)所示。
(3) 根據(jù)系統(tǒng)對(duì)動(dòng)態(tài)性能的要求,可試探性引入一個(gè)超前補(bǔ)償器來(lái)增加相角裕量,則可假設(shè)校正裝置的傳遞函數(shù)為:
![](/article/UploadPic/2009-7/200972714323368.gif)
則可通過(guò)下列的Matlab語(yǔ)句得到校正后系統(tǒng)的幅值裕量和相位裕量:
Gc=tf([0.0262,1],[0.0106,1]);bode(Gc,w)
G_o=Gc*G0;[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(G_o);[Gm,Pm,Wcg,Wcp]
ans =
Inf 47.5917 NaN 60.3252
從而可得到補(bǔ)償器的Bode圖如圖6-18b所示。可以看出,在頻率 處系統(tǒng)的幅值和相位均增加了。在這樣的控制器下,校正后系統(tǒng)的相位裕量增加到 ,而剪切頻率增加到 。
(4) 繪制校正后系統(tǒng)的Bode圖如圖6-18a中的實(shí)線(xiàn)所示。用如下的Matlab語(yǔ)句繪制校正前后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線(xiàn)如圖6-18c。
[m,p]=bode(G0,w);[m1,p1]=bode(G_o,w);
subplot(211),semilogx(w,20*log10([m(:),m1(:)]))
subplot(212),semilogx(w,[p(:),p1(:)])
G_c1=feedback(G0,1);G_c2=feedback(G_o,1);
[y,t]=step(G_c1);y=[y,step(G_c2,t)];
figure,plot(t,y)
圖6-18c 校正前后系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線(xiàn)比較 | |
評(píng)論