表2.4 (7,4)循環(huán)碼的出錯模式 ( 生成多項式G(x)=1011 )

　　如果循環(huán)碼有一位出錯，用G(x)作模2除將得到一個不為0的余數(shù)。如果對余數(shù)補0繼續(xù)除下去,我們將發(fā)現(xiàn)一個有趣的結(jié)果：各次余數(shù)將按表2.4中的內(nèi)容順序循環(huán)。例如第七位出錯，余數(shù)將為001，補0后再除，第二次余數(shù)為010，以后依次為100，011，…,反復循環(huán)。這是一個有價值的特點。如果我們在求出余數(shù)不為0之后,一邊對余數(shù)補0繼續(xù)做模2除，同時讓被檢測的校驗碼字循環(huán)左移。表2.4說明,當出現(xiàn)余數(shù)(101)時,出錯位也移到A1位置?？赏ㄟ^異或門將它糾正后在下一次移位時送回A7。繼續(xù)移滿一個循環(huán)(對7,4碼共移七次)，就得到一個糾正后的碼字。這樣我們就不必像海明校驗那樣用譯碼電路對每一位提供糾正條件。當數(shù)據(jù)位數(shù)增多時，循環(huán)碼校驗能有效地降低硬件代價，這是它得以廣泛應用的主要原因。

　　關于生成多項式，并不是任何一個r次的多項式都可以作為生成多項式。從檢錯及糾錯的要求出發(fā),生成多項式應能滿足下列要求:
　　(1) 任何一位發(fā)生錯誤應當使余數(shù)不為0；
　　(2) 不同位發(fā)生錯誤應當使余數(shù)不同；
　　(3) 對余數(shù)繼續(xù)作模2除,應使余數(shù)循環(huán)。

　　將這些要求反映為數(shù)學關系是比較復雜的，對一個(n,k)碼來說，可將(xn -1)分解為若干質(zhì)因子式(注意是模2運算)，根據(jù)編碼所要求的碼距，選取合適的r值，選其中的一個因式或若干因式的乘積作為生成多項式，為r次多項式，且最高、最低位系數(shù)均為1。

　　例: x⁷-1=( x+1)(x³+x+1)(x³+x²+1) (模2運算)
　　選擇 G(x)= x+1 = 11，可構(gòu)成(7,6)碼，只能判一位錯。
　　選擇 G(x)= x³+x+1=1011,或 x³+x²+1=1101,可構(gòu)成(7,4)碼,能判兩位錯或糾一位錯。
　　選擇 G(x)=(x+1)(x³+x+1)=11101,可構(gòu)成(7,3)碼,能判兩位錯并同時糾正一位錯。

　　對使用者來說，可從有關資料上查到對應于不同碼制的生成多項式，表2.5僅給出了一部分。

表2.5 生成多項式