浮點數(shù)與定點數(shù)表示法是我們在計算機中常用的表示方法 所以必須要弄懂原理，特別是在FPGA里面，由于FPGA不能像在MCU一樣直接用乘除法。

定點數(shù)

首先說一下簡單的定點數(shù)，定點數(shù)是克服整數(shù)表示法不能表示實數(shù)的缺陷，那么我們就可以通過將實數(shù)乘上一個分數(shù)來實現(xiàn)，當然要是分數(shù)就是2^-i倍數(shù)，那么我們的定點數(shù)表示法就是精確的表示，但是很不幸我們自然界中的樹并不是那么湊巧。所以定點數(shù)只能是近視表示實數(shù)，包括浮點法也是這樣的。具體的實現(xiàn)就是將表示成2進制后，然后在左移k位，那么對于N為的定點數(shù)表示法中，就有N-1-K表示整數(shù)部分，低k位表示分數(shù)，最高位表示符號。

定點數(shù)表達法的缺點在于其形式過于僵硬，固定的小數(shù)點位置決定了固定位數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分，不利于同時表達特別大的數(shù)或者特別小的數(shù)。

浮點數(shù)

浮點數(shù)表示法更為復雜，這種表達方式利用科學計數(shù)法來表達實數(shù)，即用一個尾數(shù)（Mantissa ），一個基數(shù)（Base），一個指數(shù)（Exponent）以及一個表示正負的符號來表達實數(shù)。比如 123.45 用十進制科學計數(shù)法可以表達為 1.2345 × 102 ，其中 1.2345 為尾數(shù)，10 為基數(shù)，2 為指數(shù)。浮點數(shù)利用指數(shù)達到了浮動小數(shù)點的效果，從而可以靈活地表達更大范圍的實數(shù)。

提示: 尾數(shù)有時也稱為有效數(shù)字（Significand）。尾數(shù)實際上是有效數(shù)字的非正式說法。

在 IEEE 標準中，浮點數(shù)是將特定長度的連續(xù)字節(jié)的所有二進制位分割為特定寬度的符號域，指數(shù)域和尾數(shù)域三個域，其中保存的值分別用于表示給定二進制浮點數(shù)中的符號，指數(shù)和尾數(shù)。這樣，通過尾數(shù)和可以調(diào)節(jié)的指數(shù)（所以稱為"浮點"）就可以表達給定的數(shù)值了。具體的格式參見下面的圖例：

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?

上圖中可以看出S表示符號位，EXponent表示指數(shù)位，也就是“浮動”的指數(shù)位，指數(shù)的范圍在32位的系統(tǒng)中（0-2^8 -1）/2 也就是0-127，在double型位2^11位浮動指數(shù)。

指數(shù)域中，對應于我們之前介紹的二進制科學計數(shù)法中的指數(shù)部分。其中單精度數(shù)為 8 位，雙精度數(shù)為 11 位。以單精度數(shù)為例，8 位的指數(shù)為可以表達 0 到 255 之間的 255 個指數(shù)值。但是，指數(shù)可以為正數(shù)，也可以為負數(shù)。為了處理負指數(shù)的情況，實際的指數(shù)值按要求需要加上一個偏差（Bias）值作為保存在指數(shù)域中的值，單精度數(shù)的偏差值為 127，而雙精度數(shù)的偏差值為 1023。比如，單精度的實際指數(shù)值 0 在指數(shù)域中將保存為 127；而保存在指數(shù)域中的 64 則表示實際的指數(shù)值 -63。 偏差的引入使得對于單精度數(shù)，實際可以表達的指數(shù)值的范圍就變成 -127 到 128 之間（包含兩端）。我們不久還將看到，實際的指數(shù)值 -127（保存為 全 0）以及 +128（保存為全 1）保留用作特殊值的處理。這樣，實際可以表達的有效指數(shù)范圍就在 -127 和 127 之間。在本文中，最小指數(shù)和最大指數(shù)分別用 emin 和 emax 來表達。

圖例中的第三個域為尾數(shù)域，其中單精度數(shù)為 23 位長，雙精度數(shù)為 52 位長。除了我們將要講到的某些特殊值外，IEEE 標準要求浮點數(shù)必須是規(guī)范的。這意味著尾數(shù)的小數(shù)點左側必須為 1，因此我們在保存尾數(shù)的時候，可以省略小數(shù)點前面這個 1，從而騰出一個二進制位來保存更多的尾數(shù)。這樣我們實際上用 23 位長的尾數(shù)域表達了 24 位的尾數(shù)。比如對于單精度數(shù)而言，二進制的 1001.101（對應于十進制的 9.625）可以表達為 1.001101 × 23，所以實際保存在尾數(shù)域中的值為 00110100000000000000000，即去掉小數(shù)點左側的 1，并用 0 在右側補齊。

注：單精度浮點型所謂的7.2位精度就是指的是有效位的范圍，因為單精度浮點可以表達的最大指數(shù)為 2^24 - 1 = 16,777,215這個數(shù)就是有效位的最大表示數(shù)字了，超過這個數(shù)的就要進行取舍。

參考：

IEEE 754 Floating-Point Format
IEEE 754 FLOATING POINT REPRESENTATION