CORDIC（Coordinate Rotation Digital Computer）算法即坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)數(shù)字計(jì)算方法，是J.D.Volder1于1959年首次提出，主要用于三角函數(shù)、雙曲線、指數(shù)、對數(shù)的計(jì)算。該算法通過基本的加和移位運(yùn)算代替乘法運(yùn)算，使得矢量的旋轉(zhuǎn)和定向的計(jì)算不再需要三角函數(shù)、乘法、開方、反三角、指數(shù)等函數(shù)。

本文是基于FPGA實(shí)現(xiàn)Cordic算法的設(shè)計(jì)與驗(yàn)證，使用Verilog HDL設(shè)計(jì)，初步可實(shí)現(xiàn)正弦、余弦、反正切函數(shù)的實(shí)現(xiàn)。將復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化成FPGA擅長的加減法和乘法，而乘法運(yùn)算可以用移位運(yùn)算代替。Cordic算法有兩種模式，旋轉(zhuǎn)模式和向量模式?？梢栽趫A坐標(biāo)系、線性坐標(biāo)系、雙曲線坐標(biāo)系使用。本文線初步實(shí)現(xiàn)在圓坐標(biāo)系下的兩種模式的算法實(shí)現(xiàn)。

Cordic算法簡化

旋轉(zhuǎn)模式，迭代位移算法。假設(shè)有一點(diǎn)P0（x0，y0），經(jīng)過逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度θ，到達(dá)點(diǎn)Pm（xm，ym），我們根據(jù)數(shù)學(xué)運(yùn)算可以得到公式如下：

xm = x0cosθ - y0sinθ = cosθ（x0 – y0tanθ）

ym = y0cosθ + x0sinθ = cosθ（y0 – x0tanθ）

如果不考慮旋轉(zhuǎn)后的向量模值，只考慮旋轉(zhuǎn)角度，即去掉cosθ，得到如下方程式。這里旋轉(zhuǎn)的角度的正確的，但x和y的值增加。cosθ值是小于等于1的，值大于等于1，所以模值應(yīng)該增大。我們不能通過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)計(jì)算去掉cosθ，但是去掉cosθ項(xiàng)可以方便我們后面的坐標(biāo)平面旋轉(zhuǎn)的計(jì)算。這里稱為偽旋轉(zhuǎn)。

xm = x0 – y0tanθ

ym = y0 – x0tanθ

Cordic的方法核心就是偽旋轉(zhuǎn)，將旋轉(zhuǎn)角θ細(xì)化成若干個大小固定的角度θi，規(guī)定θi滿足tanθi = 2^-i，通過一系列的迭代旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)θi，i為迭代次數(shù)，規(guī)定∑θi的范圍即旋轉(zhuǎn)角度θ的范圍為［-99.7， 99.7］。如果θ的大于這個范圍則可通過三角運(yùn)算操作轉(zhuǎn)化到該范圍的角度。

我們通過事先將所有每次旋轉(zhuǎn)的角度計(jì)算出來，由于每次旋轉(zhuǎn)的角度是固定的，所以經(jīng)過i次旋轉(zhuǎn)的∑θi可能會超過θ，所以就必須設(shè)置一個方向值di，如果旋轉(zhuǎn)角度之和已經(jīng)小于θ，則di為1，下次旋轉(zhuǎn)繼續(xù)為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)角度之和大于θ，則di為-1，下次旋轉(zhuǎn)為逆時(shí)針。設(shè)置zi+1為旋轉(zhuǎn)剩余角度，zi+1 = z0 – dizi，z0 = θ，隨著i值得增大，zi+1會趨向于0時(shí)，即旋轉(zhuǎn)結(jié)束。di與zi的符號位相同。

采用偽旋轉(zhuǎn)的方法，每次提出一個cosθi，旋轉(zhuǎn)結(jié)束后會產(chǎn)生一個∏cosθi的累乘，一旦我們確定了迭代次數(shù)，∏cosθi就是一個常數(shù)，迭代公式可寫為。這是將cosθi提出、tanθi 替換成 2^-i后的結(jié)果。di與zi的符號位相同。

xi+1 = xi - di * yi * 2^-i

yi+1 = yi + di * xi * 2^-i

zi+1 = z0 - di * θi

設(shè)迭代i = n - 1，那么旋轉(zhuǎn)n次后得到Pm的坐標(biāo)應(yīng)該為（xn * ∏cosθi， yn * ∏cosθi）。應(yīng)為每次迭代都會提出一個cosθi，旋轉(zhuǎn)n次后的xn和yn就會少乘一個∏cosθi，所以實(shí)際上最終的Pm坐標(biāo)角度近似于（xn * ∏cosθi， yn * ∏cosθi）。

xn * ∏cosθi = x0cosθ - y0sinθ

yn * ∏cosθi = y0cosθ + x0sinθ

xn = 1/∏cosθi （x0cosθ – y0sinθ）

yn = 1/∏cosθi （y0cosθ – x0sinθ）

伸縮因子，KN = 1 / ∏cosθi，已知迭代次數(shù)，我們可以預(yù)先計(jì)算KN的值。如下這是博主使用MATLAB計(jì)算出的迭代結(jié)果數(shù)值。

xn =KN （x0cosθ – y0sinθ）

yn = KN （y0cosθ – x0sinθ）

從上表可以得出，我們預(yù)先計(jì)算出KN的值，然后令x0 = ∏cosθi，y0 = 0，則上述公式可化簡為

xn = cosθ

yn = sinθ

即可實(shí)現(xiàn)正弦、余弦操作了。

旋轉(zhuǎn)模式

總結(jié)一下，Cordic算法旋轉(zhuǎn)模式使用Verilog HDL的實(shí)現(xiàn)流程

（1） 確定迭代次數(shù)，將每次迭代的角度計(jì)算出來，預(yù)先定義為參數(shù)，為了避免浮點(diǎn)運(yùn)算，將角度值向左移位16位，取整數(shù)部分。

（2） 根據(jù)迭代公式進(jìn)行迭代計(jì)算，本設(shè)計(jì)取16次迭代，從上表可以看出，當(dāng)?shù)螖?shù)越大時(shí)，1/∏cosθi會趨向于一個確定值。如果對結(jié)果精度要求更高，可以設(shè)置更高的迭代次數(shù)，根據(jù)迭代次數(shù)，可以將伸縮因子KN = 1/∏cosθi計(jì)算出來。同樣將其左移16位。

xi+1 = xi - di * yi * 2^-i

yi+1 = yi + di * xi * 2^-i

zi+1 = z0 - di * θi

（3） 設(shè)置x0 = ∏cosθi，y0 = 0，則求出x16 = cosθ，y16 = sinθ。

這里需要注意的是，我們在進(jìn)行迭代運(yùn)算的時(shí)候，將2^-i變成移位運(yùn)算，對于正余弦來說是有正負(fù)的，所以在一開始定義的時(shí)候，就應(yīng)該定義成有符號數(shù)，Verilog中也可以定義有符號數(shù)，最高位表示符號位，定義如下

迭代寄存器定義為有符號數(shù)，那么我們移位運(yùn)算就不能用》》邏輯右移《《邏輯左移或來移位了，而是用》》》算術(shù)右移和《《《算術(shù)左移。邏輯左移也就相當(dāng)于算數(shù)左移，右邊統(tǒng)一添0 ，邏輯右移，左邊統(tǒng)一添0 ，算數(shù)右移，左邊添加的數(shù)和符號有關(guān)。

例如1010_1010， ［］是添加的位

邏輯左移一位：0101_010［0］

算數(shù)左移一位：0101_010［0］

邏輯右移一位：［0］101_0101

算數(shù)右移一位：［1］101_0101

迭代運(yùn)算采用16級流水線，進(jìn)行運(yùn)算，最終需要判斷輸出的正余弦值在哪個象限，前面講旋轉(zhuǎn)角度θ的范圍為［-99.7，99.7］，不在這個范圍我們要進(jìn)行三角運(yùn)算使其滿足這個范圍，當(dāng)輸入的角度小于90度即可進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)輸入角度大于90度小于180度，將輸入角度減去90度并設(shè)定當(dāng)前角度處于第二象限，然后進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)輸入角度大于180度小于270度，將輸入的角度減去180度設(shè)置當(dāng)前角度處于第三象限，進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)輸入的角度大于270度，減去270設(shè)置當(dāng)前角度處于第四象限，進(jìn)行計(jì)算。象限的設(shè)定通過quarant寄存器實(shí)現(xiàn)。

如果角度在第一象限，sin（x） = sin（a），cos（x） = sin（a）最后的結(jié)果x16 = cosθ， y16 = sinθ，這里我想起了那句口訣，一全正，二正弦，三正切，四余弦

如果角度在第二象限，sin（x） = sin（a+90） = cos（a），cos（x） = cos（a+90） = -sin（a）

如果角度在第三象限，sin（x） = sin（a+180） = -sin（a），cos（x） = cos（a+180） = -cos（a）

如果角度在第四象限，sin（x） = sin（a+270） = cos（a），cos（x） = cos（a+270） = -sin（a）

對于正數(shù)，我們直接賦值輸出，負(fù)數(shù)，這里使用有符號數(shù)表示，將其取反加1即可。最終使用modelsim對算法進(jìn)行仿真，從波形圖上看已經(jīng)初步實(shí)現(xiàn)了sin，cos函數(shù)。

向量模式

Cordic算法在向量模式下的計(jì)算方法和旋轉(zhuǎn)模式基本上是類似的，設(shè)有一點(diǎn)P0（x0， y0），經(jīng)過順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度到與軸重合，得到點(diǎn)Pm（xm， ym），即ym = 0。

xm = x0cosθ - y0sinθ = cosθ（x0 – y0tanθ）

ym = y0cosθ + x0sinθ = cosθ（y0 – x0tanθ） = 0

我們設(shè)置x0 = x， y0 = y， z0 = 0，迭代次數(shù)為16，經(jīng)過16次迭代后得到zn = θ = arctan（y/x）和坐標(biāo)所代表的向量的模值d = xm = xn * ∏cosθi，di與yi方向相反，即當(dāng)時(shí)結(jié)束運(yùn)算。實(shí)現(xiàn)方法為判斷yi的符號位，符號位為1，di為1，符號位為0，di為-1。

xi+1 = xi - di * yi * 2^-i

yi+1 = yi + di * xi * 2^-i

zi+1 = z0 - di * θi

關(guān)于反正切函數(shù)，由于在［-99.7°，99.7°］范圍內(nèi)，所以我們輸入向量P0（x0， y0）時(shí)，需要保證其在第一、四象限。

下面是使用MATLAB計(jì)算出來的數(shù)據(jù)和FPGA計(jì)算出來的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。

從FPGA計(jì)算出的結(jié)果與MATLAB來比較，和實(shí)際結(jié)果之間的誤差還是挺小的，畢竟是硬件計(jì)算出來的數(shù)據(jù)，向量的誤差就比較大了，如果對于精度比較高的計(jì)算，我們可以通過提高迭代次數(shù)來提高精度。至此基于FPGA的Cordic算法就實(shí)現(xiàn)結(jié)束了。