有若干因素會(huì)對(duì)隨機(jī)時(shí)序抖動(dòng)產(chǎn)生影響，其中包括相位噪聲、寬帶噪聲、雜散信號(hào)、壓擺率、帶寬。本文探究了這些噪聲源，同時(shí)給出了把噪聲轉(zhuǎn)換為時(shí)序抖動(dòng)的公式。

引言

時(shí)序抖動(dòng)和時(shí)序噪聲屬于人們了解甚少的工程概念，而它們又是模擬設(shè)計(jì)和數(shù)字設(shè)計(jì)中最重要的參數(shù)。尤其是在高速通信系統(tǒng)中，惡劣的抖動(dòng)性能會(huì)導(dǎo)致更高的誤碼率，并限制系統(tǒng)速度。時(shí)序抖動(dòng)一般定義為數(shù)字信號(hào)在某一重要時(shí)刻相對(duì)于其理想時(shí)間位置的短時(shí)間偏離。有若干因素會(huì)影響隨機(jī)時(shí)序抖動(dòng)，包括寬帶噪聲、相位噪聲、雜散信號(hào)、壓擺率、帶寬。相位噪聲和寬帶噪聲都是隨機(jī)的，而雜散信號(hào)是由串?dāng)_和電源耦合等各種可確定的干擾信號(hào)導(dǎo)致的確定性響應(yīng)。如同本文稍后提到的那樣，壓擺率和帶寬也影響抖動(dòng)。圖1描繪了一條非理想的正弦曲線，它包含了這三種噪聲源。圖2顯示了一個(gè)數(shù)字信號(hào)，伴隨的抖動(dòng)隨時(shí)間而積累。

本文旨在解釋和論證時(shí)序抖動(dòng)和這三種噪聲源之間的直接關(guān)系。

圖1. 對(duì)時(shí)序抖動(dòng)產(chǎn)生影響的三個(gè)噪聲源。

圖2. 時(shí)鐘信號(hào)內(nèi)的隨機(jī)噪聲與雜散信號(hào)導(dǎo)致的抖動(dòng)。抖動(dòng)會(huì)隨時(shí)間積累。

寬帶噪聲對(duì)時(shí)序抖動(dòng)的影響

正弦波的抖動(dòng)
所有電子元件都產(chǎn)生寬帶噪聲，尤其是放大器和邏輯器件。寬帶噪聲也稱作噪聲底，是散粒噪聲和熱噪聲的結(jié)合。散粒噪聲在二極管和晶體管中很常見，是由電荷穿越半導(dǎo)體結(jié)的勢(shì)壘時(shí)的隨機(jī)跳躍導(dǎo)致的。另一方面，熱噪聲不受電流的影響。它是由載波的隨機(jī)熱運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的，例如在MOSFET的柵極和通道阻抗范圍內(nèi)。熱噪聲功率與阻抗和溫度成正比。

隨著現(xiàn)代元件的工作帶寬進(jìn)入數(shù)千兆赫茲范圍，寬帶噪聲對(duì)時(shí)序抖動(dòng)的影響變得相當(dāng)突出。例如，一個(gè)寬帶放大器驅(qū)動(dòng)器的帶寬是40GHz，噪聲系數(shù)是10dB，小信號(hào)增益是20dB，輸出功率是0dBm，則它產(chǎn)生的噪聲輸出是-38dBm (-174dBm + 10dB + 20dB + 10log10(40GHz))。這導(dǎo)致38dB的信噪比(SNR)。在這個(gè)SNR水平，寬帶噪聲就是時(shí)序抖動(dòng)的重要影響因素?？偩礁?RMS)噪聲電壓是噪聲底在頻帶內(nèi)的積分。圖3說明了RMS噪聲是如何轉(zhuǎn)化為時(shí)序抖動(dòng)的。

圖3. 噪聲電壓y穿越0V，使信號(hào)提前t達(dá)到閾值，從而產(chǎn)生了抖動(dòng)。

從數(shù)學(xué)上來說，可以用下面的公式表示包含寬帶白噪聲的正弦波：

其中A為振幅，是角頻率，v_n(t)為時(shí)刻t處的噪聲電壓。隨機(jī)噪聲v_n(t)具有高斯(正態(tài))分布。噪聲電壓(v_n)的概率分布(v_n)為：

其中(v_nRMS)為RMS噪聲電壓。為了理解噪聲電壓是如何轉(zhuǎn)換為時(shí)序抖動(dòng)的，可考慮把y(t)施加到抖動(dòng)測(cè)量?jī)x器(如帶直方圖功能的采樣示波器)的輸入端。每次y(t)穿越0V閾值時(shí)，直方圖上就增加一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。正如圖3所示，在時(shí)間t內(nèi)，存在噪聲信號(hào)y達(dá)到閾值的可能，因此抖動(dòng)被加到直方圖中，時(shí)間比預(yù)期的采樣點(diǎn)早或晚t。概率密度為時(shí)序抖動(dòng)t的函數(shù)，是通過在公式2中設(shè)置v_n = y = Asin(2t)來計(jì)算的。結(jié)果就是抖動(dòng)分布函數(shù)，如直方圖所示。

假設(shè)t相比正弦曲線周期而言很小，那么可以對(duì)公式3進(jìn)行簡(jiǎn)化，得到：Asin(2t A(2t = At。

公式3可變?yōu)椋?

把公式4中各項(xiàng)的分子和分母同除以A，得到：

公式5為抖動(dòng)分布函數(shù)，除比例因子1/A外，它與公式2中的高斯分布相似，因此，得到的RMS抖動(dòng)為：

圖4所示的測(cè)試裝置用來驗(yàn)證公式6。純正弦波信號(hào)和寬帶噪聲信號(hào)相互疊加，然后輸入采樣示波器，它在零交叉處測(cè)量抖動(dòng)。為了確保測(cè)試結(jié)果有意義，設(shè)置的輸入寬帶噪聲要高于示波器的噪聲底。圖5和圖6顯示了實(shí)驗(yàn)結(jié)果。圖5表明在RMS噪聲恒定時(shí)，抖動(dòng)是頻率的函數(shù)；圖6表明頻率恒定時(shí)，抖動(dòng)是RMS噪聲的函數(shù)。測(cè)量得到的抖動(dòng)曲線和計(jì)算得到的抖動(dòng)曲線之間具有相似性，證明公式6可用來把寬帶噪聲轉(zhuǎn)化成時(shí)序抖動(dòng)。

圖4. 抖動(dòng)測(cè)試裝置#1：噪聲和純正弦波信號(hào)疊加。

圖5. 在RMS噪聲一定的情況下，抖動(dòng)為頻率的函數(shù)。

圖6. 在頻率一定的情況下，抖動(dòng)為RMS噪聲電壓的函數(shù)。

普通波形的抖動(dòng)
經(jīng)過稍微修改，公式6還能用于其他波形的抖動(dòng)轉(zhuǎn)化。根據(jù)定義，公式6中的A項(xiàng)是0V閾值時(shí)的壓擺率S。只要已知該閾值處的壓擺率，任何波形都可用于求出t與y之間的關(guān)系，這是因?yàn)?I>v_n = y = St (圖3)。把它代入公式2得到公式7：

把公式7中各項(xiàng)的分子和分母同除以S，得到：

除比例因子1/S外，公式8與公式2中的高斯分布相似，因此，得到的RMS抖動(dòng)為：

圖4所示的測(cè)試裝置再次用于驗(yàn)證公式9。正弦波曲線用一個(gè)壓擺率可變的方波代替。在方波上升沿的50%處測(cè)量抖動(dòng)。圖7所示結(jié)果表明公式9是正確的。

圖7. 在方波上升沿的50%處測(cè)量抖動(dòng)。

圖7中給出的信息引出了一個(gè)有趣的現(xiàn)象。似乎波形的壓擺率越快，產(chǎn)生的抖動(dòng)越小。然而，較快的壓擺率要求較高的工作帶寬，這增加了系統(tǒng)中的RMS噪聲。因?yàn)镽MS噪聲與帶寬成正比，因此系統(tǒng)設(shè)計(jì)者必須仔細(xì)選擇壓擺率和帶寬，來使抖動(dòng)降到最低程度。

相位噪聲對(duì)時(shí)序抖動(dòng)的影響

相位噪聲存在于任何有源元件和無源元件中，但它在振蕩器中表現(xiàn)最為嚴(yán)重。這些振蕩器包括晶體自激振蕩器和時(shí)鐘恢復(fù)應(yīng)用中的鎖相振蕩器。相位噪聲是一種描述頻譜純度的指標(biāo)。例如，理想情況下，振蕩器輸出應(yīng)該是一條純正弦曲線，表示為頻域中位于某個(gè)單一頻率的垂線。然而，在現(xiàn)實(shí)情況中，振蕩器存在一些噪聲源，它們會(huì)導(dǎo)致輸出頻率偏離其理想位置，因此在載波(基波)頻率附近，產(chǎn)生了一個(gè)其他頻率的“裙邊”效應(yīng)(圖8)。這些頻率被稱作相位噪聲，是由對(duì)振蕩器進(jìn)行調(diào)制的噪聲源引起的。它們的電平通常比噪聲底高，頻率接近載波頻率。相位噪聲通常被指定為偏離載波的某個(gè)頻率處的噪聲功率與載波功率之比，在1Hz帶寬之內(nèi)。由于相位噪聲來自于噪聲源對(duì)信號(hào)的頻率調(diào)制，因此相位噪聲不受壓擺率的影響。

圖8. 由于振蕩器的噪聲頻率調(diào)制，輸出頻譜中出現(xiàn)“裙邊”效應(yīng)。

受大多數(shù)抖動(dòng)測(cè)量設(shè)備能力所限，與測(cè)量低噪聲信號(hào)在時(shí)域中的抖動(dòng)相比，通常更容易通過測(cè)量它在頻域中的相位噪聲來確定其純度。例如，多數(shù)抖動(dòng)測(cè)量示波器只能測(cè)量低達(dá)1ps_RMS的抖動(dòng)。大多數(shù)實(shí)時(shí)示波器的帶寬僅為7GHz。而另一方面，相位噪聲設(shè)備能獲得目前最佳的低噪聲示波器的噪聲測(cè)量水平(在時(shí)域中遠(yuǎn)小于1ps)，并提供高達(dá)40GHz的帶寬。

在早期的文章[1-2]中我們已經(jīng)探討了相位噪聲和時(shí)序抖動(dòng)的轉(zhuǎn)換問題。為了得到相位噪聲與抖動(dòng)的關(guān)系式，可以考慮把公式10作為一個(gè)帶有相位噪聲的正弦曲線：

其中A是振幅, f_o是額定頻率, (t)為相位噪聲。通常在兩個(gè)或多個(gè)周期之間的0V交越處測(cè)量抖動(dòng)。在0V交越處, 公式10括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)為2N:

其中t₁為第一個(gè)零交越時(shí)刻，t₂為第N個(gè)零交越時(shí)刻。兩個(gè)公式相減得出：

兩個(gè)交越點(diǎn)之間的時(shí)間為周期數(shù)量加上抖動(dòng)：

T_O為周期，即1/f_O，t是N個(gè)周期后積累的抖動(dòng)。把公式14代入公式13得：

重新整理公式15，并消去2N項(xiàng)，得到抖動(dòng)：

RMS抖動(dòng)的平方為：

因?yàn)?t)是個(gè)穩(wěn)態(tài)過程，所以：

其中S()為(t)的頻譜密度，f為偏移(傅立葉)頻率。公式17的中間項(xiàng)變?yōu)?

其中R()是()的自相關(guān)函數(shù),是經(jīng)過 NT_o個(gè)周期后的時(shí)間。經(jīng)過N個(gè)周期后，在時(shí)刻RMS抖動(dòng)的平方為：

利用代數(shù)公式1 - cos(2 = 2sin²()，并假設(shè)相位噪聲接近載波并且對(duì)稱(就是從-f_OFFSET到0的積分等于0到+f_OFFSET的積分)，公式20可以重寫為：

S()近似等于相位噪聲L() [3]；也就是說，傅立葉頻偏比載波頻偏小得多: f_OFFSET << f_O。

為了驗(yàn)證公式22，使用了一個(gè)相位調(diào)制電路[4]，它是圖9所示測(cè)試裝置的一部分。相位調(diào)制電路可以非常方便地產(chǎn)生無雜散、可變相位噪聲信號(hào)。首先，利用采樣示波器針對(duì)時(shí)序抖動(dòng)測(cè)量該電路的輸出，然后用頻譜分析儀(沒有畫出)針對(duì)相位噪聲測(cè)量其輸出。圖10顯示了該電路的相位噪聲圖。它類似于鎖相振蕩器的噪聲圖，在這種振蕩器中，相位噪聲在環(huán)路帶寬內(nèi)是恒定的，并在帶外滾降。圖11給出了使用數(shù)值積分對(duì)公式22求積分后得到的相對(duì)于周期的累積抖動(dòng)。圖11中的曲線證實(shí)了公式22的正確性。

圖9. 抖動(dòng)測(cè)試裝置#2：使用相位調(diào)制器產(chǎn)生相位噪聲和抖動(dòng)。

圖10. 相位調(diào)制電路的相位噪聲圖形。

圖11. 圖形顯示的是相對(duì)于周期的累積抖動(dòng)，證實(shí)了公式22的正確性。

雜散噪聲對(duì)時(shí)序抖動(dòng)的影響

雜散信號(hào)也對(duì)時(shí)序抖動(dòng)有影響，尤其是在振蕩器中。雜散信號(hào)是由鎖相環(huán)基準(zhǔn)的雜散信號(hào)、電源耦合、相鄰電路的串?dāng)_、噪聲源引起的。如圖1所示，這些雜散信號(hào)通常表現(xiàn)為載波頻率附近的小尖峰。公式22有助于建立雜散信號(hào)和時(shí)序抖動(dòng)的關(guān)系。由于雜散只發(fā)生在特定頻率，因此公式22中的積分函數(shù)可以用總和來代替：

同樣， NT_o為經(jīng)過N個(gè)周期的時(shí)間。由于公式23未假定雜散信號(hào)是對(duì)稱的，所以要乘的系數(shù)為4而不是8。在計(jì)算抖動(dòng)時(shí)，載波兩側(cè)的雜散信號(hào)都必須包含在內(nèi)。L(f_n)為雜散信號(hào)相對(duì)于載波(預(yù)期信號(hào))的振幅，通常以dBc為單位。f_n為n次諧波的頻率偏移。圖12是公式23的波形圖，使用載波兩側(cè)的雜散信號(hào)，頻偏為100kHz，振幅為-40dBc。參考文獻(xiàn)1中驗(yàn)證了公式23，方法是用一條正弦波調(diào)制一個(gè)壓控晶體振蕩器，產(chǎn)生載波兩側(cè)的雜散信號(hào)(沒有畫出)。

圖12. 公式23的曲線，顯示了載波兩側(cè)產(chǎn)生的雜散信號(hào)。

總抖動(dòng)

如前所述，寬帶噪聲、相位噪聲、雜散信號(hào)是時(shí)序抖動(dòng)的三個(gè)影響因素。寬帶噪聲是純粹隨機(jī)和非相干的，因此它產(chǎn)生的抖動(dòng)不累積。然而，后兩者一般都產(chǎn)生累積抖動(dòng)。總時(shí)序抖動(dòng)的平方等于三種抖動(dòng)的平方和。

結(jié)束語

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和計(jì)算數(shù)據(jù)之間的一致性證明了三種主要噪聲源和時(shí)序抖動(dòng)之間的關(guān)系。高速系統(tǒng)的設(shè)計(jì)人員可以利用公式9、22和23把噪聲轉(zhuǎn)化成時(shí)序抖動(dòng)。

附錄：計(jì)算RMS噪聲電壓
如果已知某種電子器件的一項(xiàng)或幾項(xiàng)常規(guī)噪聲規(guī)格，那么可以通過多種方法來確定它的總RMS噪聲電壓。表1列出了一些元件制造商們通常提供的噪聲指標(biāo)。

Component	Noise Specification	Unit
Amplifier	Residual noise-floor power density	dBm/Hz
	Noise figure	dB
	Input referred noise density	nV/Hz
Oscillator	Phase noise floor	dBc/Hz

如果給定了噪聲密度，就可以通過在有效帶寬上對(duì)噪聲密度進(jìn)行積分來估算總RMS噪聲，公式如下：

系統(tǒng)的典型負(fù)載阻抗Z_O為50，P_RMS為RMS噪聲功率，BW為帶寬，NOISE-FLOOR是以dBm/Hz為單位的噪聲底密度。例如，一個(gè)放大器的帶寬為10GHz，輸出噪聲密度為-150dBm/Hz，則它產(chǎn)生的總RMS噪聲電壓為707μV_RMS:

噪聲系數(shù)(NF)常用于描述低噪聲放大器和功率放大器噪聲性能?？梢詮脑肼曄禂?shù)推導(dǎo)出噪聲底密度，方法是把它與50電阻的熱噪聲相加，再加上系統(tǒng)增益，公式如下：

例如，一個(gè)噪聲系數(shù)為10dB、小信號(hào)增益為20dB的放大器的噪聲底密度為-144dBm/Hz。

已知噪聲密度，就可以推出總噪聲電壓。

另一方面，運(yùn)算放大器噪聲特性的表現(xiàn)形式通常是輸入?yún)⒖荚肼?，單位為nV/Hz。假定噪聲電流可忽略，信號(hào)源阻抗遠(yuǎn)小于放大器輸入阻抗，那么總RMS噪聲可通過下面公式計(jì)算：

例如：一個(gè)輸入噪聲密度為8nV/Hz、小信號(hào)增益為20dB、帶寬為1GHz的放大器產(chǎn)生的噪聲電壓為800μV_RMS：

振蕩器的相位噪聲的單位通常為dBc/Hz。dBc單位表示輸出噪聲對(duì)期望信號(hào)功率的歸一化。下面的公式可用于計(jì)算總RMS噪聲電壓：

其中P_SIG為振蕩器的輸出功率。例如，某個(gè)振蕩器在50產(chǎn)生的功率為10dBm，輸出相位噪聲底為-150dBc/Hz、有效帶寬為100MHz, 則輸出噪聲電壓為224mV_RMS:

參考文獻(xiàn)

1. Ali Hajimiri et. al., "Jitter and Phase Noise in Ring Oscillators," IEEE Journal of Solid-State Circuits, Vol. 34, No. 6, pp. 790-804.
2. Boris Drakhlis, "Calculate Oscillator Jitter By Using Phase-Noise Analysis," Microwaves & RF, Jan. 2001 pp. 82-90 and p. 157.
3. W. F. Egan, Frequency Synthesis by Phase Lock. New York: Wilen, 1981.
4. Enrico Rubiola et. al., "The ±45° Correlation Interferometer as a Means to Measure Phase Noise of Parametric Origin" IEEE Transactions On Instrumentation and Measurement, Vol. 52, No. 1, pp. 182-188.